Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Упругие свойства графена

  1. Упругие свойства графена

    «Туймаада» 2010/11, 11 кл.
    7/10

    В 2010 году А. Гейм и К. Новосёлов получили Нобелевскую премию за открытие графена, который представляет собой моноатомный слой графита толщиной \(h = 0{,}335\) нм. В своей лекции на физтехе Костантин Новосёлов (выпускник ФФКЭ МФТИ 1997 года) отметил уникальные механические свойства графена. Графен — самый упругий и самый прочный из известных на данный момент материалов: модуль Юнга графена превосходит модуль Юнга алмаза, а прочность графена почти на два порядка больше прочности специальных сталей. Кроме того, графеновая плёнка обладает огромной эластичностью. В предлагаемой ниже задаче идея опыта и численные данные взяты из статьи группы учёных из Колумбийского университета США, которые впервые изучили упругие свойства графена.

    Рисунок

    Рис. 19

    Опыт по исследованию упругих свойств графена ставится следующим образом (рис. 19, 20). Алмазный зонд атомно-силового микроскопа в виде тонкого лезвия действует с силой \(F\) на середину графеновой плёнки, закреплённой (но не натянутой) на краях узкой бороздки шириной \(2l = 1\) мкм. Сила давления равномерно распределена по всей ширине графеновой плёнки \(d = 0{,}5\) мкм (размер в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 20). Для прогиба середины плёнки на величину \(x_0 = 100\) нм потребовалась сила \(F_0 = 1{,}6\) мкН, а при прогибе центра полосы на величину \(x_{\max} = 332\) нм плёнка разрывается под действием силы \(F_{\max} = 48\) мкН.

    Рисунок

    Считайте, что вплоть до разрыва для плёнки справедлив закон Гука, то есть \(\sigma = E\varepsilon\), где \(\sigma\) — механическое напряжение (отношение силы натяжения к площади поперечного сечения), \(E\) — модуль Юнга (константа, характеризующая упругость материала), \(\varepsilon\) — относительная деформация (отношение удлинения к первоначальной длине). Изменение толщины и ширины плёнки при деформации не учитывайте.

    1. Найдите зависимость силы \(F\) от \(x\) для малых деформаций \(x\).

    2. Найдите модуль Юнга \(E\) графена.

    3. Найдите максимальную относительную деформацию графена \(\varepsilon_{\max}\). На сколько процентов можно растянуть графеновую плёнку?

    4. Найдите максимальное напряжение \(\sigma_{\max}\) (прочность) графена.

    5. Допустим, что в аналогичном опыте испытывается на прочность скотч, изготовленный не из традиционного полиэтилена, а из материала с упругими и прочностными свойствами графена, то есть с такими же модулем Юнга, максимальной относительной деформацией и прочностью. Какая сила \(F'_{\max}\) потребуется, чтобы разорвать «графеновый скотч» толщиной \(H = 0{,}1\) мм, надавливая ребром металлической линейки на середину закреплённой полосы длиной \(2L = 2\) см и шириной \(D = 0{,}5\) см?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(F = \dfrac{Edhx^3}{l^3} \sim x^3\);  2) \(E = 1{,}2\cdot10^{12}\) Па \(= 1{,}2\) ТПа;  3) \(\varepsilon_{\max} = \sqrt{1 + \dfrac{x_{\max}^2}{l^2}} - 1 = 20\%\);  4) \(\sigma_{\max} \approx 260\) ГПа;  5) \(F'_{\max} = 143\) кН \(\approx 14\) тонн силы.

    Решение

    1. Выразим удлинение половины плёнки: \[\Delta l = \sqrt{l^2 + x^2} - l = l\left(\left(1 + \dfrac{x^2}{l^2}\right)^{1/2} - 1\right) \approx l\left(\left(1 + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{l^2}\right) - 1\right) = \dfrac{x^2}{2l}.\] Площадь поперечного сечения плёнки \(S = dh\). Найдём силу натяжения плёнки: \[T = ES\dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{Edhx^2}{2l^2}.\] Выразим силу давления зонда на плёнку (рис. 118): \[F = 2T\sin\alpha \approx 2T\cdot\dfrac{x}{l} = \dfrac{Edhx^3}{l^3} \sim x^3. \qquad (153)\]

    Рисунок

    2. Из формулы (153) найдём \[E = \dfrac{Fl^3}{dhx^3} = 1{,}2\cdot10^{12}\text{ Па} = 1{,}2\text{ ТПа},\] где подставлены \(x = x_0\) и \(F = F_0\). Для сравнения — модуль Юнга алмаза не превосходит 1 ТПа.

    3. Найдём максимальное относительное удлинение плёнки: \[\varepsilon_{\max} = \dfrac{\Delta l_{\max}}{l} = \sqrt{1 + \dfrac{x_{\max}^2}{l^2}} - 1 = 20\%.\] Для сравнения — попробуйте растянуть (не разорвав!) лист бумаги на 20%.

    4. Из условия равновесия перед разрывом \[F_{\max} = 2T_{\max}\sin\alpha_{\max} = 2\sigma_{\max}dh\cdot\dfrac{x_{\max}}{\sqrt{l^2 + x_{\max}^2}}\] находим прочность \[\sigma_{\max} = \dfrac{F_{\max}\sqrt{l^2 + x_{\max}^2}}{2dhx_{\max}} = 2{,}59\cdot10^{11} \approx 260\text{ ГПа}.\] Использование закона Гука даёт значение \(\sigma_{\max} = E\varepsilon_{\max} = 240\) ГПа, которое хуже согласуется с экспериментальными результатами из-за приближённости самого закона Гука для больших деформаций, однако в рамках поставленной задачи может считаться правильным. Для сравнения — прочность сталей не превосходит \(\sigma_{\max}^{\text{сталь}} = 5\) ГПа.

    5. Из формулы \[F_{\max} = 2\sigma_{\max}S\sin\alpha_{\max}\] видно, что \(F_{\max} \sim S\), так как \(\alpha_{\max}\) определяется только максимальной относительной деформацией, которая, как и \(\sigma_{\max}\), есть константа. Таким образом, \[F'_{\max} = F_{\max}\cdot\dfrac{DH}{dh} = 143\text{ кН} \approx 14\text{ тонн силы}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх