Водоём зимой

В искомый момент времени \(t\) система будет находиться в следующем состоянии (рис. 134). На дне окажется вода, охлаждённая до температуры \(T_{\max}\), при которой вода имеет максимальную плотность. Требуемый по условию слой снега толщиной \(h\) над водой будет опираться на подводный слой снега толщиной \(h_{12} = h_1 + h_2\), причём слой воды глубиной \(h_1\) — это растаявший снег, а слой воды глубиной \(h_2\) — это исходная вода, охлаждённая до равновесной со снегом температуры \(T_2\).

Из закона Архимеда для плавающего нерастаявшего снега следует, что \[\rho_s(h_{12} + h) = \rho_wh_{12},\] откуда \[h_{12} = \dfrac{\rho_sh}{\rho_w - \rho_s}.\] Время выпадения и масса нерастаявшего снега соответственно равны \[t_1 = \dfrac{h_{12} + h}{v} = \dfrac{\rho_wh}{(\rho_w - \rho_s)v} = 5\text{ ч}\quad\text{и}\quad m_1 = \mu St_1 = \dfrac{\mu S\rho_wh}{(\rho_w - \rho_s)v},\] где \(S\) — площадь водоёма.

Часть объёма слоя смеси воды и снега занимает снег, поэтому парциальная плотность воды (отношение массы воды к объёму смеси) составляет \[\rho'_w = \dfrac{\rho_wSh_{12} - m_1}{Sh_{12}} = \rho_w\left(1 - \dfrac{\mu}{\rho_sv}\right).\] Пусть \(t_2\) — время таяния льда и охлаждения воды в процессе установления теплового равновесия, тогда для массы талой воды в слое смеси можно записать уравнение \[\rho'_wSh_1 = \mu St_2,\] откуда

\[h_1 = \dfrac{\mu t_2}{\rho'_w},\qquad h_2 = h_{12} - h_2 = \dfrac{\rho_sh}{\rho_w - \rho_s} - \dfrac{\mu t_2}{\rho'_w}.\] Уравнение теплового баланса имеет вид \[\lambda\mu St_2 = c\rho_wSH(T_1 - T_{\max}) + c\rho'_wSh_2(T_{\max} - T_2),\] или, после сокращения на \(S\) и подстановки \(h_2\) и \(\rho'_w\), \[\lambda\mu t_2 = c\rho_wH(T_1 - T_{\max}) + c\left(\dfrac{\rho_w(\rho_sv - \mu)}{\rho_sv}\cdot\dfrac{\rho_sh}{\rho_w - \rho_s} - \mu t_2\right)(T_{\max} - T_2),\] откуда \[t_2 = \dfrac{c\rho_wH(T_1 - T_{\max})(\rho_w - \rho_s)v + c\rho_w(\rho_sv - \mu)h(T_{\max} - T_2)}{\mu(\lambda + c(T_{\max} - T_2))(\rho_w - \rho_s)v} = 5{,}5\text{ ч}.\] На самом деле процессы таяния и накопления снега идут одновременно, но можно считать их поочерёдными, поэтому искомое время \[t = t_1 + t_2 = 10{,}5\text{ ч},\] а повышение уровня воды \[\Delta H = \dfrac{\mu St}{\rho_wS} = \dfrac{\mu t}{\rho_w} = 0{,}105\text{ м}.\]