Концентрация гелия в цикле-окружности

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, концентрация \(n\) атомов гелия определяется его температурой \(T\) и давлением \(p\): \(n = \dfrac{p}{kT}\), где \(k\) — постоянная Больцмана. Отсюда следует, что на \(Tp\)-диаграмме из двух прямых, проходящих через начало координат, большей концентрации атомов соответствует прямая, идущая под меньшим углом к оси \(p\). Поэтому в показанной на рисунке 2.49 диаграмме данного процесса, построенной в приведённых координатах \(\tau = T/T_0\) и \(\pi = p/p_0\), концентрация атомов максимальна в точке \(B\) и минимальна в точке \(A\).

Из чертежа следует, что \(n_{\max} = \dfrac{p_B}{kT_B} = \dfrac{p_0\operatorname{ctg}\beta}{kT_0}\), где \(\beta\) — угол наклона касательной \(BO\) к оси \(\pi\) на приведённой диаграмме. Так как \(\triangle ACO = \triangle BCO\), то угол между касательной \(AO\) и осью \(\tau\) на приведённой диаграмме также равен \(\beta\), и \(n_{\min} = \dfrac{p_A}{kT_A} = \dfrac{p_0\operatorname{tg}\beta}{kT_0}\). Поэтому искомое отношение: \(x = \dfrac{n_{\min}}{n_{\max}} = \operatorname{tg}^2\beta\).

Минимальная приведённая температура \(\tau_{\min} = T_m/T_0\) гелия и радиус \(r\) окружности, соответствующей на диаграмме данному процессу, связаны соотношением \(r = 1 - \tau_{\min}\). Так как \(\triangle CBO\) прямоугольный и его гипотенуза \(OC = \sqrt2\), то \(\sin\alpha = \dfrac{r}{\sqrt2}\). Кроме того, из диаграммы видно, что \(\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{4}\). Учитывая всё это, получаем: \[x = \operatorname{tg}^2\beta = \operatorname{tg}^2\left(\dfrac{\pi}{4} - \alpha\right) = \left(\dfrac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha}\right)^2 = \dfrac{1 - \sin2\alpha}{1 + \sin2\alpha} =\] \[= \dfrac{1 - r\sqrt{2 - r^2}}{1 + r\sqrt{2 - r^2}} = \dfrac{1 - (1 - \tau_{\min})\sqrt{2 - (1 - \tau_{\min})^2}}{1 + (1 - \tau_{\min})\sqrt{2 - (1 - \tau_{\min})^2}} =\] \[= \dfrac{1 - (1 - \tau_{\min})\sqrt{1 + 2\tau_{\min} - \tau_{\min}^2}}{1 + (1 - \tau_{\min})\sqrt{1 + 2\tau_{\min} - \tau_{\min}^2}}.\]