Пробка перед светофором

После включения светофора машины начинают двигаться не одновременно: сначала начинают двигаться машины, стоявшие непосредственно рядом со светофором, затем следующие за ними, и так далее. Таким образом, после включения зелёного света вдоль пробки начинает распространяться «волна», причём реально скорость её распространения сравнима со скоростью движения машин.

Пусть за время \(T_{\text{з}}\), пока горит зелёный свет, мимо светофора проезжает часть пробки длиной \(L\). Величина \(T_{\text{з}}\) складывается из двух промежутков времени: времени, необходимого для того, чтобы волна прошла расстояние \(L\), и времени, необходимого для того, чтобы машина успела это расстояние проехать. Если \(v\) — скорость машины, \(u\) — скорость распространения волны, то \(T_{\text{з}} = \dfrac{L}{v} + \dfrac{L}{u}\). Если за \(T_{\text{к}}\) обозначить время свечения светофора красным светом, то среднюю скорость продвижения по пробке можно вычислить по формуле \(V_{\text{ср}} = \dfrac{L}{T_{\text{к}} + T_{\text{з}}}\).

Из написанных формул получаем: \[V_{\text{ср}} = \dfrac{T_{\text{з}}}{T_{\text{к}} + T_{\text{з}}}\cdot\dfrac{1}{(1/v) + (1/u)}.\] Отсюда при \(T_{\text{з}} = T_{\text{к}}\) находим \(u = \dfrac{2vV_{\text{ср}}}{v - 2V_{\text{ср}}} = 6\) м/с. При увеличении времени \(T_{\text{з}}\) в два раза средняя скорость продвижения машин по пробке будет равна: \[V'_{\text{ср}} = \dfrac{2T_{\text{з}}}{T_{\text{к}} + 2T_{\text{з}}}\cdot\dfrac{1}{(1/v) + (1/u)} = \dfrac{2(T_{\text{к}} + T_{\text{з}})}{T_{\text{к}} + 2T_{\text{з}}}V_{\text{ср}} = \dfrac{4}{3}V_{\text{ср}} = 2\text{ м/с}.\]