Шарик и два клина

Возможны три вида траекторий:

1) с возвратом в начальную точку удара о первый клин после отражения от второго клина (см. рис. 1.104.1);

2–3) с подъёмом на ту же высоту, но над другим клином (см. рис. 1.104.2).

В первом случае расчёт проще, чем во втором или третьем. Проведём его.

Расположим оси координат так, как показано на рисунке 1.104.1. Скорость шарика сразу после первого удара равна по модулю \(v_0 = \sqrt{2gH}\). Законы движения шарика вдоль осей координат между первым и вторым ударами имеют вид: \[x = v_0\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\cdot t,\qquad(1)\] \[y = l\operatorname{tg}\alpha + v_0\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\cdot t - \dfrac{gt^2}{2},\qquad(2)\] где время \(t\) отсчитывается от момента первого удара. Пусть шарик ударился о вторую плоскость в точке с координатами \((x_0, y_0)\). Они связаны между собой соотношением \[y_0 = (x_0 - l)\operatorname{tg}\alpha.\qquad(3)\] Так как после второго удара шарик возвращается к первому клину по участку своей прежней траектории, то перед ударом вектор скорости направлен по нормали к плоскости второго клина. Значит, для составляющих скорости шарика в этот момент справедливо соотношение: \[\dfrac{v_y}{v_x} = -\operatorname{ctg}\alpha.\qquad(4)\] Знак «минус» в (4) появляется из-за того, что при выбранных направлениях осей координат составляющая скорости \(v_y\) перед ударом отрицательна. Составляющие \(v_x\) и \(v_y\) между первым и вторым ударами выражаются формулами: \[v_x = v_0\sin2\alpha,\quad v_y = v_0\cos2\alpha - gt.\qquad(5)\] Время \(t_0\), через которое шарик ударится о второй клин, находим из (1): \(t_0 = \dfrac{x_0}{v_0\sin2\alpha}\). Подставляя (5) в (4), с учётом выражения для \(t_0\), находим \(x_0\): \[x_0 = \dfrac{v_0^2}{g}\sin^22\alpha(\operatorname{ctg}2\alpha + \operatorname{ctg}\alpha).\] Далее, из (2) и (3), с учётом выражения для \(t_0\), получаем: \[y_0 = (x_0 - l)\operatorname{tg}\alpha = l\operatorname{tg}\alpha + x_0\operatorname{ctg}2\alpha - \dfrac{gx_0^2}{2v_0^2\sin^22\alpha}.\] Подставляя в последнее соотношение найденное \(x_0\) и учитывая, что \(v_0^2/g = 2H\), имеем: \[H = \dfrac{2l\operatorname{tg}\alpha}{\sin^22\alpha(\operatorname{ctg}2\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)(\operatorname{ctg}\alpha + 2\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha)} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)^2}{(3 - \operatorname{tg}^2\alpha)(1 + 5\operatorname{tg}^2\alpha)}\,l.\] Из полученной формулы следует, что данное решение задачи существует при \(\operatorname{tg}\alpha < \sqrt3\), то есть при \(\alpha < \pi/3\).