Шайба на наклонной плоскости

Разбейте движение на подъём с остановкой и последующий спуск; ускорение при спуске меняет знак силы трения. Введите безразмерную величину \(x = \mu/\operatorname{tg}\alpha\).

При отсутствии трения время возврата \(t_0 = \dfrac{2v_0}{g\sin\alpha}\).

При наличии сухого трения шайба при подъёме скользит вверх с ускорением, равным по модулю \(a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\). Время подъёма до остановки \[t_1 = \frac{v_0}{a_1} = \frac{v_0}{g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)},\] при этом шайба проходит путь \(S = \dfrac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}\).

После остановки в верхней точке шайба начнёт скользить вниз по наклонной плоскости при условии \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\). В этом случае ускорение шайбы \(a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\). Время спуска находим по формуле \(t_2^2 = 2S/a_2\): \[t_2 = \frac{v_0}{g}\cdot\frac{1}{\sqrt{\sin^2\alpha - \mu^2\cos^2\alpha}}.\] Время возврата шайбы \[t_\mu = t_1 + t_2 = \frac{v_0}{g}\left(\frac{1}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha} + \frac{1}{\sqrt{\sin^2\alpha - \mu^2\cos^2\alpha}}\right).\]

Введём обозначение \(x = \dfrac{\mu}{\operatorname{tg}\alpha}\). Тогда выражение для \(t_\mu\) можно преобразовать к виду \[t_\mu = \frac{v_0}{g\sin\alpha}\left(\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right).\] При \(x \to 1\) \(t_\mu \to \infty\). Приравняв \(t_\mu = t_0\), получим \[\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 2,\] что можно привести к виду \(x - 2x^3 = 0\). Так как \(x \geq 0\), то корнями этого уравнения являются \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1/\sqrt{2}\). Первое значение соответствует движению без трения, а для второго решения \(\mu_0 = \operatorname{tg}\alpha/\sqrt{2}\). При \(\mu > \mu_0\) время возврата \(t_\mu > t_0\).