Цепь с двумя конденсаторами

В установившемся режиме ток через конденсаторы не течёт, так что заряды на них определяются только ЭДС. После замыкания \(K_2\) используйте закон сохранения энергии: работа аккумулятора равна сумме выделившегося тепла и изменения энергии конденсаторов.

1. Найдём заряд на конденсаторах: \[\mathcal{E} = \frac{q}{2C} + \frac{q}{C}, \quad\text{откуда}\quad q = \frac{2C\mathcal{E}}{3}.\] Тогда напряжения на конденсаторах \[U_C = \frac{2\mathcal{E}}{3}, \qquad U_{2C} = \frac{\mathcal{E}}{3}.\]

2. Пусть сразу после замыкания ключа \(K_2\) сила тока через аккумулятор равна \(I\), через конденсатор \(C\) — \(I_C\), через резистор — \(I_R\). В процессе перезарядки сумма напряжений на конденсаторах в любой момент времени равна \(\mathcal{E}\), следовательно, \[\frac{I_C\,dt}{C} = \frac{I\,dt}{2C}.\] Получаем \(I = 2I_C\), откуда \[I_R = I + I_C = \frac{3}{2}I = \frac{U_C}{R}.\] Следовательно, когда сила тока через батарею уменьшится в два раза, новый заряд на \(C\) также уменьшится в два раза, то есть \[q'_C = \frac{q}{2} = \frac{C\mathcal{E}}{3}.\] Заряд на \(2C\): \[q'_{2C} = 2C\left(\mathcal{E} - \frac{q'_C}{C}\right) = \frac{4C\mathcal{E}}{3}.\] Запишем закон сохранения энергии: \(A = Q + (W'_C - W_C) + (W'_{2C} - W_{2C})\), где \(W\) — энергия конденсатора, \(A = \mathcal{E}\,\Delta q\) — работа аккумулятора.