Шайба в винтовом желобе

Введём неподвижную прямоугольную систему координат \(XYZ\) (см. рисунок). Её начало поместим в то место, где в данный момент времени находится шайба, ось \(X\) направим горизонтально (перпендикулярно радиусу желоба в сторону движения шайбы), ось \(Y\) — вверх, а ось \(Z\) — в сторону оси желоба перпендикулярно к ней (на нашем рисунке ось \(Z\) направлена «от нас»). Пусть масса шайбы равна \(m\). Обозначим на рисунке действующие на шайбу силы. Сила тяжести \(mg\) направлена вниз; сила реакции желоба \(N\) направлена перпендикулярно к желобу, под некоторым углом к горизонту, и имеет проекции \(N_x\), \(N_y\) и \(N_z\) на все три координатные оси; наконец, сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\) направлена по касательной к желобу в сторону, противоположную направлению скорости шайбы \(v\).

Запишем уравнение движения шайбы (второй закон Ньютона) в проекциях на координатные оси: \[N_x = \mu N\cos\alpha;\] \[N_y + \mu N\sin\alpha = mg;\] \[N_z = \dfrac{mv_x^2}{R} = \dfrac{mv^2\cos^2\alpha}{R}.\] Учтём также, что \(N_x = N_y\operatorname{tg}\alpha\), поскольку сила \(N\) перпендикулярна желобу, и что \[N^2 = N_x^2 + N_y^2 + N_z^2.\] Подставляя в последнее равенство выражения для \(N_x\) и \(N_z\), с учётом связи между \(N_x\) и \(N_y\) получаем уравнение, связывающее \(N\) и \(\mu\): \[N^2 = N_x^2\left(1 + \dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}\right) + \left(\dfrac{mv^2\cos^2\alpha}{R}\right)^2 = \mu^2N^2\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \left(\dfrac{mv^2\cos^2\alpha}{R}\right)^2.\] Далее заметим, что \[mg\sin\alpha = N_y\sin\alpha + \mu N\sin^2\alpha = \dfrac{N_x\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} + \mu N\sin^2\alpha =\] \[= \mu N\cos^2\alpha + \mu N\sin^2\alpha = \mu N.\] Следовательно, полученное уравнение можно переписать в следующем виде: \[\dfrac{m^2g^2\sin^2\alpha}{\mu^2} = m^2g^2\cos^2\alpha + \dfrac{m^2v^4\cos^4\alpha}{R^2}.\] Отсюда для коэффициента трения окончательно имеем: \[\mu = \dfrac{mg\sin\alpha}{\sqrt{m^2g^2\cos^2\alpha + \dfrac{m^2v^4\cos^4\alpha}{R^2}}} = \dfrac{gR\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{g^2R^2 + v^4\cos^2\alpha}}.\]