Цепочка из 2002 шариков

Пусть масса первого (самого тяжёлого) шарика равна \(m\). Тогда масса второго шарика равна \((1 - \alpha)m\), третьего — \((1 - \alpha)^2m\), и так далее (здесь \(\alpha = 0{,}01\)). Пусть после столкновения первый шарик приобрёл скорость \(u\), а второй начал двигаться со скоростью \(v_1\). Запишем законы сохранения импульса и энергии для столкновения первого и второго шариков: \[mv = mu + (1 - \alpha)mv_1,\] \[\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mu^2}{2} + (1 - \alpha)\dfrac{mv_1^2}{2}.\] Отсюда скорость первого шарика равна \(u = \dfrac{\alpha}{2 - \alpha}v > 0\), а скорость второго шарика (после первого соударения) \(v_1 = \dfrac{2}{2 - \alpha}v > u > 0\).

Таким образом, после первого соударения оба шарика будут двигаться в направлении исходного движения первого шарика, причём второй, более лёгкий шарик будет двигаться быстрее первого, более тяжёлого. Поскольку шарики разложены в порядке убывания их масс, то аналогичные рассуждения справедливы для любой пары сталкивающихся шариков. Поэтому любой более тяжёлый шарик, столкнувшись со следующим за ним более лёгким, впоследствии не будет влиять на дальнейшее движение всех остальных более лёгких шариков. Вследствие этого при решении задачи можно просто последовательно рассматривать соударения в цепочке шариков.

Первое соударение шариков произойдёт через время \(\Delta t_0 = L/v\). Так как массы любых двух соседних шариков отличаются в одинаковое число раз, то аналогичная формула справедлива для любого соударения. Поэтому скорость третьего шарика (после второго соударения) равна \(v_2 = \dfrac{2}{2 - \alpha}v_1 = \left(\dfrac{2}{2 - \alpha}\right)^2v\), скорость четвёртого шарика (после третьего соударения) \(v_3 = \dfrac{2}{2 - \alpha}v_2 = \left(\dfrac{2}{2 - \alpha}\right)^3v\), и так далее. Следовательно, промежуток времени между соударениями \((n + 1)\)-го и \((n + 2)\)-го шариков равен \[\Delta t_n = \dfrac{L}{v_n} = \dfrac{L}{v}\left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^n,\] где \(n = 0, 1, 2, \dots, N - 2\), а время, через которое начнёт двигаться последний шарик, равно сумме всех промежутков \(\Delta t_n\): \[T = \dfrac{L}{v} + \dfrac{L}{v}\cdot\dfrac{2 - \alpha}{2} + \dfrac{L}{v}\left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^2 + \dots + \dfrac{L}{v}\left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^{N-2}.\] Последняя сумма представляет собой сумму \(N - 1\) члена геометрической прогрессии с первым членом \(a = L/v\) и знаменателем \(q = \dfrac{2 - \alpha}{2} < 1\). Поэтому \[T = \dfrac{a(1 - q^{N-1})}{1 - q} = \dfrac{L}{v}\cdot\dfrac{1 - \left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^{N-1}}{1 - \dfrac{2 - \alpha}{2}} =\] \[= \dfrac{2L}{\alpha v}\left(1 - \left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^{N-1}\right) \approx \dfrac{2L}{\alpha v} = \dfrac{2\cdot 1\text{ м}}{0{,}01\cdot 1\text{ м/с}} = 200\text{ с}.\] В последней формуле учтено, что \(q^{N-1} = \left(\dfrac{2 - \alpha}{2}\right)^{N-1} = 0{,}995^{2001} \approx 4{,}4\cdot 10^{-5} \ll 1\).

Отметим, что последний шарик после соударения приобретёт скорость \(v_{N-1} = \left(\dfrac{2}{2 - \alpha}\right)^{N-1}v = \dfrac{v}{q^{N-1}} \approx 22{,}8\) км/с, что превышает вторую космическую скорость!