График напряжённости поля

При больших значениях времени \(t\) движущийся заряд находится очень далеко от точки наблюдения, и поэтому электрическое поле создаётся только неподвижным зарядом \(Q_1\). Величина напряжённости поля при этом равна \(E_0\) (см. рис. 1), причём в соответствии с законом Кулона \(E_0 = \dfrac{|Q_1|}{4\pi\varepsilon_0d^2}\), откуда \(|Q_1| = 4\pi\varepsilon_0d^2E_0\). Этот заряд может быть как положительным, так и отрицательным — знак из условия задачи определить нельзя. Движущийся заряд \(Q_2\), по условию задачи, имеет такие же величину и знак, как заряд \(Q_1\).

Из графика видно, что в момент времени \(t = 0\) напряжённость электрического поля в точке наблюдения обращается в ноль. Кроме того, график симметричен относительно оси ординат. Поскольку заряды по условию задачи одинаковы, то это возможно лишь в том случае, когда заряд \(Q_2\) движется вдоль прямой линии и в момент времени \(t = 0\) находится на минимальном расстоянии \(d\) от точки наблюдения на прямой, проходящей через эту точку и неподвижный заряд \(Q_1\). При этом заряды располагаются симметрично по разные стороны от точки наблюдения, и расстояние между ними составляет \(2d\).

Для того, чтобы найти скорость движущегося заряда \(v\), найдём величину поля в точке наблюдения через малое время \(\Delta t\) после того, как поле было равно нулю (для определённости будем считать заряды отрицательными). За время \(\Delta t\) движущийся заряд сместился на расстояние \(v\Delta t\), а поле возросло (см. рис. 2) на величину \[\Delta E \approx 2E_0\sin\dfrac{\alpha}{2} \approx E_0\alpha \approx E_0\dfrac{v\Delta t}{d}.\]

Таким образом, величина напряжённости поля в точке наблюдения при малых временах возрастает пропорционально времени. Отношение \(\Delta E/\Delta t\) равно угловому коэффициенту касательной к графику, проведённой в точке, соответствующей моменту времени \(t = 0\). Из графика видно, что эта касательная, выходящая из начала координат, проходит через точку с координатами \((t_0, E_0)\). Следовательно, \(\Delta E/\Delta t = E_0v/d = E_0/t_0\). Отсюда \(v = d/t_0\).