Монотонный процесс

Запишите уравнение процесса \(p(V)\) и подставьте его в уравнение состояния. Тогда температура окажется квадратичной функцией объёма, и её монотонность определяется положением вершины параболы.

Уравнение линейного процесса: \[p = p_1 - (V - V_1)\beta,\] где \(\beta\) — модуль углового коэффициента наклона прямой. Из условия \(p(V_2) = 0{,}75\,p_1\) находим \[\beta = \frac{p_1}{4(V_2 - V_1)}.\] Поэтому \[p = p_1 - \frac{p_1}{4}\,\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}.\] Из уравнения Менделеева — Клапейрона \[pV = \left(p_1 - \frac{p_1}{4}\,\frac{V - V_1}{V_2 - V_1}\right)V = RT\] видно, что температура зависит от объёма как \[T = k(4V_2 - 3V_1 - V)V,\] где коэффициент пропорциональности \(k = \dfrac{p_1}{4(V_2 - V_1)}\). Это парабола (рис. 25) с вершиной \(b = (4V_2 - 3V_1)/2\). По условию температура должна меняться монотонно. Возможны два случая: возрастание или убывание температуры в течение всего процесса.

Рассмотрим случай, когда температура возрастает. Это означает, что объёмы \(V_1\) и \(V_2\) принадлежат отрезку \([0; b]\): \[\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \geqslant V_2 > V_1 \geqslant 0, \qquad V_2 \geqslant \frac{3V_1}{2}.\] При убывании температуры объёмы \(V_1\) и \(V_2\) принадлежат отрезку \([b; 2b]\): \[\frac{4V_2 - 3V_1}{2} \leqslant V_1 < V_2 \leqslant 4V_2 - 3V_1, \qquad V_1 < V_2 \leqslant \frac{5V_1}{4}.\]