Разлёт трёх заряженных частиц

Чтобы стороны оставались параллельными, проекции ускорений частиц на перпендикуляр к стороне должны совпадать. Запишите для этого закон Кулона и второй закон Ньютона для каждой пары частиц.

В любой момент времени отношение расстояний между частицами \(r_1 : r_2 : r_3\) остаётся равным отношению исходных расстояний \(R_1 : R_2 : R_3\), поскольку конфигурации частиц являются подобными треугольниками. По этой же причине углы \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) при вершинах \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) остаются неизменными (рис. 26).

Рассмотрим две сходственные стороны треугольников, например \(R_3\) и \(r_3\). Проведём к ним перпендикуляр \(ON\). Стороны параллельны, если проекции скоростей и ускорений частиц \(m_1\) и \(m_2\) на \(ON\) равны, это обусловлено тем, что частицы с массами \(m_1\) и \(m_2\) взаимодействуют лишь с зарядом частицы массой \(m_3\). Исходя из закона Кулона и второго закона Ньютона, можно получить выражения для ускорений и их проекций: \[a_{1\perp} = \frac{kq^2 \sin\alpha_1}{m_1 r_2^2} = a_{2\perp} = \frac{kq^2 \sin\alpha_2}{m_2 r_1^2}.\] Высота \(h\) треугольника, опущенная на сторону \(r_3\), равна \(h = r_2\sin\alpha_1 = r_1\sin\alpha_2\). Поэтому из предшествующего равенства следует \[\frac{1}{m_1 r_2^3} = \frac{1}{m_2 r_1^3},\] откуда \(m_1 : m_2 = r_1^3 : r_2^3\).

Аналогичным образом найдём отношение масс \(m_2 : m_3 = r_2^3 : r_3^3\). Следовательно, \(m_1 : m_2 : m_3 = r_1^3 : r_2^3 : r_3^3\). В начальный момент \(r_i = R_i\), поэтому \(m_1 : m_2 : m_3 = R_1^3 : R_2^3 : R_3^3\).