«Абсолютно упругий удар»

Сразу после удара доска меняет направление движения, а трение выравнивает скорости кубика и доски. За время выравнивания кубик смещается по доске; при какой скорости этот сдвиг не превышает длины доски?

Сразу после удара о стенку доска изменит направление движения на противоположное, а кубик продолжит движение к стенке. Сила трения скольжения вызовет изменение как скорости кубика, так и скорости доски. Уравнение движения для кубика и доски: \[v_{\text{к}} = -v_0 + \mu g t, \qquad Ma_{\text{д}} = F_{\text{тр}} = \mu m g, \quad \text{откуда} \quad a_{\text{д}} = \mu g m/M.\] Следовательно, скорость доски \(v_{\text{д}} = v_0 - \mu g t\,m/M\).

Проскальзывание прекратится после того, как скорости доски и кубика сравняются (рис. 16): \[v_0 - \mu g\dfrac{m}{M}t_{\text{к}} = -v_0 + \mu g t_{\text{к}}, \quad \text{откуда} \quad t_{\text{к}} = \dfrac{2v_0 M}{\mu g (M + m)}.\]

Максимальное перемещение кубика относительно доски равно \(L\). Из рисунка видно, что оно численно равно площади заштрихованного треугольника: \[L = \dfrac{1}{2}\cdot 2v_0 \cdot t_{\text{к}},\] то есть максимальная скорость, при которой кубик не упадёт с доски: \[v_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g L}{2}\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)}.\]