«Сферический» резистор

Используйте симметрию конструкции: какие узлы имеют одинаковые потенциалы? Можно ли соединить или разъединить их без изменения токов?

Подключим к узлам \(A\) и \(B\) батарейку. Сопротивление участка проволоки между двумя ближайшими узлами \(r = R/4\). В силу симметрии цепи относительно плоскости, в которой лежит кольцо \(ABCD\), точки \(E\) и \(F\) можно соединить между собой. При этом сопротивление \(R_{AB}\) не изменится. Нарисуем эквивалентную схему получившейся цепи (рис. 18).

Если узел \(E\) (рис. 19) разъединить так, как показано на рисунке 20, то сопротивление \(R_{AB}\) не изменится, потому что после разъединения \(E\) напряжение на участке \(E_1E_2\) будет равно нулю в силу симметрии. Теперь легко вычислить сопротивление отдельных участков: \[R_{CD} = \dfrac{r}{2}, \qquad R_{ADCB} = \dfrac{5r}{2}.\]

Эквивалентная схема изображена на рисунке 21. Сопротивление получившейся цепи \[R_{AB} = \dfrac{5r}{12} = \dfrac{5R}{48} = 10~\text{Ом}.\]