Процесс с идеальным газом

Выразите давление через плотность и температуру по уравнению состояния, подставьте линейную зависимость \(\rho(T)\) и найдите максимум давления как функцию температуры.

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона в виде: \[p = \dfrac{R}{\mu}\rho T,\] где \(p\) — давление газа. Если обозначить \(t = T/T_0\), а \(\rho_0\) — максимальную плотность газа, то уравнение рассматриваемого процесса примет вид: \[\rho = \rho_0(1 - t), \qquad \text{откуда} \qquad p = \rho_0 T_0\dfrac{R}{\mu}(t - t^2).\] Исследуем на максимум выражение для давления. Это квадратный многочлен относительно \(t\), представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, и его значение достигает максимума в вершине параболы, то есть при \(t = 1/2\). Отсюда находим максимальное давление: \[p_{\max} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{R}{\mu}\rho_0 T_0.\] С учётом этого уравнение принимает вид: \[\dfrac{p}{p_{\max}} = 4(t - t^2).\] В задаче требуется найти условия, когда \(p/p_{\max} = 3/4\). Решая уравнение, находим, что \(T/T_0 = 1/2 \pm 1/4\). Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения температуры: \[T_1 = \dfrac{1}{4}T_0 \qquad \text{и} \qquad T_2 = \dfrac{3}{4}T_0.\]