Сейсмические волны

Подсказка

Прямой луч — хорда EX; он не должен задевать ядро. Преломлённый луч проходит ядро по хорде, а на границе выполняется закон преломления с отношением скоростей. Разность времён прихода S- и P-волн по одной и той же хорде даёт её длину.

Решение

(i) Рис. 2.1

\[EX = 2R\sin\theta \quad\therefore\ t = \frac{2R\sin\theta}{v},\] где \(v = v_P\) для P-волн и \(v = v_S\) для S-волн.

Это справедливо, если угловое расстояние до X меньше или равно угловому расстоянию до X\('\) — точки, куда приходит луч, касательный к жидкому ядру. Угловое расстояние до X\('\) по рисунку равно \[2\phi = 2\cos^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\right).\] Таким образом, \[t = \frac{2R\sin\theta}{v} \qquad\text{при } \theta \le \cos^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\right),\] где \(v = v_P\) для P-волн и \(v = v_S\) для поперечных волн.

(ii) \(\dfrac{R_C}{R} = 0{,}5447\) и \(\dfrac{v_{CP}}{v_P} = 0{,}831.3\)

Рис. 2.2

Из рис. 2.2 \[\theta = \angle AOC + \angle EOA \ \Rightarrow\ \theta = (90 - r) + (1 - \alpha). \qquad (1)\]

Закон Снеллиуса даёт \[\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_P}{v_{CP}}. \qquad (2)\] По теореме синусов для треугольника EAO \[\frac{R_C}{\sin x} = \frac{R}{\sin i}. \qquad (3)\]

Подставляя (2) и (3) в (1): \[\theta = \left[90 - \sin^{-1}\left(\frac{v_{CP}}{v_P}\sin i\right) + i - \sin^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\sin i\right)\right]. \qquad (4)\]

(iii) Только для сведения. Для минимума \(\theta\) \[\frac{d\theta}{di} = 0 \ \Rightarrow\ 1 - \frac{\left(\frac{v_{CP}}{v_P}\right)\cos i}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_{CP}}{v_P}\sin i\right)^2}} - \frac{\left(\frac{R_C}{R}\right)\cos i}{\sqrt{1 - \left(\frac{R_C}{R}\sin i\right)^2}} = 0.\] Подстановка \(i = 55{,}0^\circ\) даёт нулевую левую часть, что подтверждает, что минимум достигается при этом значении \(i\). Подстановка \(i = 55{,}0^\circ\) в (4) даёт \(\theta = 75{,}8^\circ\).

График зависимости \(\theta\) от \(i\):

Подставляя в (4): \(i = 0\) даёт \(\theta = 90\); \(i = 90^\circ\) даёт \(\theta = 90{,}8^\circ\).

Подставляя численные значения \(i\) от \(0\) до \(90^\circ\), находим минимум при \(i = 55^\circ\); минимальное значение \(\theta_{\text{MIN}} = 75{,}8^\circ\).

Физическое следствие. Поскольку \(\theta\) имеет минимальное значение \(75{,}8^\circ\), наблюдатели в точках, для которых \(2\theta < 151{,}6^\circ\), не зарегистрируют землетрясение, так как сейсмические волны не отклоняются на углы, меньшие \(151{,}6^\circ\). Однако при \(2\theta \le 114^\circ\) до наблюдателя дойдут прямые, непреломлённые сейсмические волны.

На рисунке: Refracted waves — преломлённые волны.

(iv) Используя результат \[t = \frac{2r\sin\theta}{v},\] получаем запаздывание \[\Delta t = 2R\sin\theta\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right].\] Подставляя данные: \[131 = 2(6370)\left[\frac{1}{6{,}31} - \frac{1}{10{,}85}\right]\sin\theta.\] Следовательно, угловое расстояние между E и X \[2\theta = 17{,}84^\circ.\] Этот результат меньше \(2\cos^{-1}\left(\dfrac{R_C}{R}\right) = 2\cos^{-1}\left(\dfrac{3470}{6370}\right) = 114^\circ\), и, следовательно, сейсмическая волна не преломляется в ядре.

(v)

Наблюдения, скорее всего, вызваны отражениями от границы мантии и ядра. В обозначениях рисунка запаздывание равно \[\Delta t' = (ED + DX)\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right],\] \[\Delta t' = 2(ED)\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right], \quad\text{так как } ED = EX \text{ по симметрии}.\]

В треугольнике EYD \[(ED)^2 = (R\sin\theta)^2 + (R\cos\theta - R_C)^2,\] \[(ED)^2 = R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta \qquad (\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1).\] Следовательно, \[\Delta t' = 2\sqrt{R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta}\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right].\] Используя (ii),

\[\Delta t' = \frac{\Delta t}{R\sin\theta}\sqrt{R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta} \ \Rightarrow\ 396{,}7~\text{с}, \ \text{ или 6 мин 37 с}.\] Таким образом, последующий промежуток времени, обусловленный отражением сейсмических волн от границы мантии и ядра, согласуется с угловым расстоянием \(17{,}84^\circ\).