Волны в ручье

Запишем длины волн, образовавшихся по разные стороны от палки, в виде \(\lambda_1 = k_1d\) и \(\lambda_2 = k_2d\), где коэффициенты \(k_1 = 1/6\) и \(k_2 = 8\) определяются по фотографиям: сколько \(\lambda_1\) укладывается в \(d\) и сколько \(d\) укладывается в \(\lambda_2\).

В системе отсчёта, связанной с водой, палка и обе волны движутся со скоростью \(u\) (аналогично картине волн от катера). Подставим \(v = u\) в закон дисперсии и запишем его в виде \[\dfrac{g}{2\pi}\lambda^2 - u^2\lambda + \dfrac{2\pi\sigma}{\rho} = 0.\] Поскольку \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) — корни данного уравнения, по теореме Виета \[\dfrac{g}{2\pi}\lambda_1\lambda_2 = \dfrac{2\pi\sigma}{\rho},\qquad \dfrac{g}{2\pi}(\lambda_1 + \lambda_2) = u^2.\] После подстановки выражений для \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) находим \[d = 2\pi\sqrt{\dfrac{\sigma}{k_1k_2\rho g}} \approx 15\text{ мм},\qquad u = \sqrt{\sqrt{\dfrac{g\sigma}{k_1k_2\rho}}(k_1 + k_2)} \approx 43\text{ см/с}.\]