Ночное насекомое

Насекомое будет приближаться к фонарю по спирали (рис. 116). Рассмотрим небольшой участок траектории в полярной системе координат с центром в центре фонаря. Поскольку вектор скорости \(\vec v\) составляет постоянный угол \(\alpha\) с направлением на центр фонаря, проекция скорости насекомого на направление к фонарю является константой: \(v_r = v\cos\alpha\). Следовательно, можем найти время приближения с расстояния \(R\) до расстояния \(R_0\) от центра:

\[\tau = \dfrac{R - R_0}{v_r} = \dfrac{R - R_0}{v\cos\alpha} = 57\text{ с}.\] Для вычисления числа оборотов запишем смещение насекомого за малое время \(dt\) в направлении к центру фонаря и в перпендикулярном направлении: \[dr = -v\cos\alpha\cdot dt,\qquad r\,d\varphi = v\sin\alpha\cdot dt.\] Поделив одно уравнение на другое, получим \[d\varphi = -\operatorname{tg}\alpha\cdot\dfrac{dr}{r},\] откуда после интегрирования в пределах от \(R\) до \(R_0\) находим полный угол поворота насекомого вокруг фонаря: \[\varphi = -\operatorname{tg}\alpha\cdot\ln\dfrac{R_0}{R}.\] Найдём искомое число оборотов: \[n = \dfrac{\varphi}{2\pi} = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{2\pi}\ln\dfrac{R}{R_0} = 4{,}2.\]