Треугольный фрактал

1. Пусть \(P\) — периметр наибольшего треугольника, тогда общую длину \(L\) использованной проволоки можно найти по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(0{,}5\), так как периметр каждого следующего треугольника в 2 раза меньше предыдущего: \[L = P + \dfrac{P}{2} + \dfrac{P}{4} + \dfrac{P}{8} + \ldots = \dfrac{P}{1 - 0{,}5} = 2P.\] Длина одной стороны наибольшего треугольника \(a = P/3 = L/6\), значит, её сопротивление \(r = R_0/6 = 1\) Ом.

2. Добавим к цепи ещё один треугольник, для которого стороны \(a\) станут средними линиями (рис. 193). Новая система вложенных треугольников подобна исходной с коэффициентом подобия 2, следовательно, сопротивление \(R'\) между точками \(A'\) и \(B'\) больше \(R\) в то же число раз: \(R' = 2R\).

3. Если разъединить вершину \(C\) и середину \(S\) стороны \(A'B'\) (рис. 194), то сопротивление \(R'\) не изменится, так как в силу симметрии цепи точки \(C\) и \(S\) имеют одинаковые потенциалы. Пользуясь свойствами последовательного и параллельного соединений, по эквивалентной схеме (рис. 195) находим \[R' = \dfrac{1}{\dfrac{1}{r + r} + \dfrac{1}{r + \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{r + r}} + r}} = \dfrac{4r(R + r)}{3R + 4r}.\]

4. Приравняем выражения для \(R'\), полученные в пунктах 2 и 3: \[2R = \dfrac{4r(R + r)}{3R + 4r},\] что после приведения к каноническому виду даёт уравнение \[3R^2 + 2rR - 2r^2 = 0,\] откуда \[R = \dfrac{\sqrt{7} - 1}{3}\cdot r = \dfrac{\sqrt{7} - 1}{18}\cdot R_0 \approx 0{,}55\text{ Ом}\] (второй корень отрицательный и не имеет физического смысла).