Фотонный газ

Давление газа обусловлено ударами его частиц о стенки сосуда. Величина давления равна средней силе, действующей на единицу площади стенки. Найдём среднюю силу \(F_i\), с которой действуют на стенку частицы, имеющие скорость \(\vec v_i\) и импульс \(\vec p_i\), направленные под углом \(\alpha_i\) к нормали стенки. Для этого применим закон изменения импульса, считая удар частиц упругим. За время \(\Delta t\) о единичную площадку стенки ударятся \(N_i = n_iv_i\cos\alpha_i\Delta t\) таких частиц, где \(n_i\) — их число в единице объёма: \[2N_ip_i\cos\alpha_i = 2n_iv_i\cos\alpha_ip_i\cos\alpha_i = F_i\Delta t.\] Давление газа \(P\) составляет \[P = \langle F_i\rangle = 2\langle n_iv_{ix}p_{ix}\rangle = 2\langle v_{ix}p_{ix}\rangle\dfrac{1}{2}n, \qquad (171)\] где ось \(x\) перпендикулярна к стенке. Множитель \(1/2\) поставлен потому, что лишь половина частиц, имеющих одно и то же значение \(\vec v_i\vec p_i\), движется к стенке, а другая — в противоположном направлении. Из-за хаотичности движения частиц \[\langle p_i\cos\alpha_i\cdot v_i\cos\alpha_i\rangle = \langle v_{ix}p_{ix}\rangle = \dfrac{1}{3}\langle v_{ix}p_{ix} + v_{iy}p_{iy} + v_{iz}p_{iz}\rangle = \dfrac{1}{3}\langle\vec v\cdot\vec p\rangle.\] Подставляя это выражение в формулу (171), получим \[P = \dfrac{1}{3}n\,\langle\vec v\cdot\vec p\rangle.\] Ответ на второй пункт задачи просто следует из полученной формулы, если принять во внимание, что масса фотона равна нулю и поэтому его энергия \(E = pc\), где \(c\) — скорость света, то есть скорость фотонов \(v = c\): \[P = \dfrac{1}{3}nE = \dfrac{1}{3}u, \qquad (172)\] где \(u = nE\) — энергия единицы объёма фотонного газа.

Рассматриваемый в третьем пункте цикл Карно изображён на рис. 127.

Давление фотонного газа отличается от плотности энергии излучения только множителем \(1/3\) в формуле (172), а плотность энергии не зависит от объёма, подобно тому как масса единицы объёма не зависит от объёма всего тела. Поэтому давление газа фотонов не зависит от объёма, а определяется только температурой. Таким образом, изотермы 1–2 и 3–4 совпадают с изобарами, что отражено на рис. 127. Вследствие малости \(dT\) и \(dP\) график рассматриваемого цикла можно приближённо считать параллелограммом. Тогда его «площадь» равна \(dP\cdot dT\), и получаем следующую формулу для КПД цикла: \[\eta = \dfrac{dT}{T} = \dfrac{\delta A}{\delta Q} = \dfrac{dP\cdot dV}{\delta Q}. \qquad (173)\] Количество теплоты \(\delta Q\), сообщаемое фотонному газу при изотермическом расширении, выразим из первого начала термодинамики: \[\delta Q = dU + P\,dV = u\,dV + P\,dV = 4P\,dV.\] Подставим последнее выражение в формулу (173): \[\dfrac{dT}{T} = \dfrac{dP\cdot dV}{4P\,dV}.\] Путём интегрирования находим \[P = aT^4, \qquad (174)\] где \(a\) — некоторая постоянная величина.

В четвёртом пункте требуется, используя формулу (174), получить выражение для мощности \(W\) излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела. Для этого нужно сложить энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени единицей площади поверхности: \[W = \sum\nu_iE_i,\] где \(E_i\) — энергия фотонов \(i\)-го сорта, а \(\nu_i\) — их число, излучаемое в единицу времени единичной площадкой. Из условия известно, что \[\nu_i = \dfrac{1}{4}n_i\,\langle v_i\rangle,\] где \(n_i\) — число фотонов \(i\)-го сорта в единице объёма, а \(\langle v_i\rangle = c\) — скорость движения фотонов. Используя выражение для \(\nu_i\), а также формулу (174), получим закон Стефана–Больцмана: \[W = \dfrac{1}{4}\sum n_icE_i = \dfrac{c}{4}u = \dfrac{c}{4}3P = \dfrac{3}{4}caT^4 = \sigma T^4,\] где \(\sigma = 3ca/4\). Таким образом, постоянная Стефана–Больцмана отличается от коэффициента пропорциональности \(a\), входящего в формулу (174), лишь множителем \(3c/4\).

Часто в литературе в формуле \[\nu = \dfrac{1}{4}n\,\langle v\rangle\] вместо \(1/4\) пишут множитель \(1/6\). Такой результат получается в более грубой модели, в которой рассматривается движение частиц только в трёх взаимно перпендикулярных направлениях.

В последнем пункте требуется найти КПД цикла, изображённого на рис. 128.

Как было выяснено ранее, изобары 1–2 и 3–4 для фотонного газа совпадают с изотермами, так что рассматриваемый цикл похож на цикл Карно. В цикле Карно процессы 2–3 и 4–1 должны быть адиабатическими. В данной задаче эти процессы описываются уравнением \(PV^{4/3} = \text{const}\). Чтобы сравнить процессы 2–3 и 4–1 с адиабатическими, нужно получить уравнение адиабаты фотонного газа. Для этого применим первое начало термодинамики и формулу (172): \[\delta Q = \delta A + dU = 4P\,dV + 3V\,dP = 0.\] Отсюда получим \[\dfrac{dP}{P} = -\dfrac{4}{3}\dfrac{dV}{V}.\] После интегрирования находим \[PV^{4/3} = \text{const}.\] Таким образом, в задаче речь идёт именно о цикле Карно, коэффициент полезного действия которого, как известно, не зависит от рода рабочего вещества и равен \[\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1},\] в том числе и для рассматриваемого в задаче цикла с фотонным газом.