Спутник с печальной судьбой

Наиболее частыми маневрами, выполняемыми космическими кораблями на орбите, являются изменения скорости вдоль направления полета с целью перехода на более высокие орбиты или торможения при входе в атмосферу. В данной задаче мы будем изучать изменения орбит, когда тяга двигателя действует в радиальном направлении. Для проведения численных расчетов используйте следующие данные: радиус Земли \(R=6.37 \cdot 10^6~м\), ускорение свободного падения у земной поверхности \(g=9.81~м/с^2\), продолжительность астрономических суток \(T_0=24.0~ч\).

Мы рассматриваем геостационарный спутник связи (его период обращения равен \(T_0\)) массой \(m\), выведенный на круговую экваториальную орбиту радиусом \(r_0\). Такие спутники оснащены маневровым двигателем, с помощью которого им сообщаются импульсы, необходимые для выхода на конечную орбиту.

A1. Найдите численное значение \(r_0\).

A2. Получите аналитическое выражение для скорости \(v_0\) спутника как функцию \(g\), \(R\) и \(r_0\), а также найдите численное скорости.

A3. Выразите момент импульса \(L_0\) и полную механическую энергию \(E_0\) спутника как функцию \(v_0\), \(m\), \(g\) и \(R\).

После того как спутник уже достиг геостационарной круговой орбиты и был застабилизирован в нужном положении, готовясь к выполнению своей работы, из-за ошибки наземных операторов вновь включился маневровый двигатель (рис. 1). В результате спутник получил толчок, направленный к Земле, и, несмотря на быстрые действия наземной команды по остановке двигателя, нежелательное изменение скорости спутника \(\Delta v\) все-таки произошло. Мы охарактеризуем этот толчок параметром \(\beta=\Delta v/v_0\). Время работы двигателя обычно пренебрежимо мало по сравнению со всеми другими орбитальными временами, поэтому мы можем рассматривать его как бесконечно малое.

Рассмотрим случай \(\beta < 1\).

B1. Выразите фокальный параметр (см. подсказку) новой орбиты \(l\) и ее эксцентриситет \(\varepsilon\) через \(r_0\) и \(\beta\).

B2. Вычислите угол \(\alpha\) между большой осью новой орбиты и радиус-вектором спутника в месте толчка.

B3. Получите аналитические выражения для минимального \(r_{min}\) (перигей) и максимального \(r_{max}\) (апогей) расстояний спутника от центра Земли как функций \(r_0\) и \(\beta\) и вычислите их численные значения для \(\beta =1/4\).

B4. Выразите период обращения по новой орбите \(T\) как функцию \(T_0\) и \(\beta\) и найдите его численное значение для \(\beta=1/4\).

C1. Вычислите \(\beta_{min}\) — минимальное значение параметра \(\beta\), необходимое для преодоления спутником земной гравитации.

C2. Определите в этом случае наименьшее расстояние \(r'_{min}\) между центром Земли и спутником при его движении по новой траектории как функцию \(r_0\).

Рассмотрим случай \(\beta > \beta_{min}\).

D1. Определите скорость спутника на бесконечности \(v_{\infty}\) как функцию \(v_0\) и \(\beta\).

D2. Выразите прицельный параметр \(b\) (рис. 2) в асимптотическом пределе через \(r_0\) и \(\beta\).

D3. Определите угол \(\varphi\) асимптотического направления ухода как функцию \(\beta\). Найдите его численное значение для \(\beta= \frac{3}{2}\beta_{min}\).

Подсказка

Под действием центральных сил, подчиняющихся закону обратных квадратов, тела движутся по траекториям, которые являются эллипсами, параболами или гиперболами. В приближении \(m \ll M\) притягивающая масса \(M\) находится в одном из фокусов. При выборе начала координат в этом фокусе (рис. 3) общее уравнение этих кривых в полярных координатах записывается в виде \[r(\theta)= \frac{l}{1-\varepsilon\cos\theta'}\]

где \(l\) — положительная постоянная, называемая фокальным параметром, а \(\varepsilon\) — эксцентриситет кривой. Используя константы движения, можно записать

\[l=\frac{L^2}{GMm^2}\]

\[\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\]

где \(G\) — гравитационная постоянная, \(L\) — модуль момента импульса относительно начала координат тела, движущегося по орбите, а \(E\) — его механическая энергия, причем потенциальная энергия на бесконечности принимается равной нулю.

Возможны следующие случаи:

• если \(0 \le \varepsilon \le 1\), то кривая является эллипсом (при \(\varepsilon=0\) — окружностью);

• если \(\varepsilon=1\), то кривая является параболой;

• если \(\varepsilon>1\), то кривая является гиперболой.