Космический зонд к Юпитеру

Перейдите в систему отсчёта Юпитера: там энергия зонда сохраняется, и он лишь поворачивает скорость на угол \(\Delta\theta\), не меняя её модуля. Угол между асимптотами найдите из условия \(1/r = 0\). Затем вернитесь в систему Солнца, прибавив скорость Юпитера.

1A. Предполагая — как сказано в условии, — что орбита круговая, и приравнивая центростремительное ускорение \(\dfrac{V^2}{R}\) гравитационному полю \(\dfrac{GM_S}{R^2}\) (где \(M_S\) — масса Солнца), получаем орбитальную скорость Юпитера \(V = \sqrt{\dfrac{GM_S}{R}} \approx 1{,}306\cdot 10^4\) м/с.

Следующее альтернативное решение также принимается:

1B. Поскольку мы считаем движение Юпитера равномерным по окружности, \(V = \omega R = \dfrac{2\pi R}{y_J}\), где \(y_J\) — период обращения Юпитера, приведённый в списке общих физических постоянных.

2. Две гравитационные силы, действующие на космический зонд, равны, когда \[\frac{GMm}{\rho^2} = \frac{GM_Sm}{(R - \rho)^2} \tag{2}\] (где \(\rho\) — расстояние от Юпитера, а \(M\) — масса Юпитера), откуда \[\sqrt M\,(R - \rho) = \rho\sqrt{M_S} \tag{3}\] и \[\rho = \frac{\sqrt M}{\sqrt{M_S} + \sqrt M}R = 0{,}02997R = 2{,}333\cdot 10^{10}\text{ м}, \tag{4}\] и поэтому две силы притяжения равны на расстоянии около 23,3 миллиона километров от Юпитера (около 334 радиусов Юпитера).

3. С помощью простого преобразования Галилея находим, что составляющие скорости зонда в системе отсчёта Юпитера равны \[\begin{cases} v'_x = V, \\ v'_y = v_0, \end{cases}\] и поэтому — в системе отсчёта Юпитера — зонд движется под углом \(\theta_0 = \arctan\dfrac{v_0}{V}\) к оси \(x\), и его скорость равна \(v' = \sqrt{v_0^2 + V^2}\) (заметим также, что \(\cos\theta_0 = \dfrac{V}{\sqrt{v_0^2 + V^2}} = \dfrac{V}{v'}\) и \(\sin\theta_0 = \dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + V^2}} = \dfrac{v_0}{v'}\)).

Подставляя заданные значения, получаем \(\theta_0 = 0{,}653\text{ рад} \approx 37{,}4^\circ\) и \(v' = 1{,}65\cdot 10^4\) м/с.

4. Поскольку траекторию зонда можно описать лишь приближённо как результат гравитационного взаимодействия двух тел (следовало бы учесть также взаимодействие с Солнцем и другими планетами), мы берём большое, но не бесконечное расстояние от Юпитера и приближённо принимаем полную энергию в системе отсчёта Юпитера равной кинетической энергии зонда на этом расстоянии: \[E \approx \frac12 mv'^2. \tag{5}\] Соответствующее численное значение \(E = 112\) ГДж.

5. Уравнение (1) показывает, что радиальное расстояние становится бесконечным, а обратная ему величина равна нулю, когда \[1 + \sqrt{1 + \frac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}\cos\theta = 0, \tag{7}\] т. е. когда \[\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}}. \tag{8}\] Заметим также, что радиальное расстояние не может быть отрицательным, и поэтому допустимые его значения — те, что удовлетворяют условию \[1 + \sqrt{1 + \frac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}\cos\theta \ge 0, \tag{9}\] или \[\cos\theta \ge -\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}}. \tag{10}\] Решения для предельного случая (10) (т. е. когда выполняется знак равенства) таковы: \[\theta_\pm = \pm\arccos\left[-\left(1 + \frac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}\right)^{-1/2}\right] = \pm\left(\pi - \arccos\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}}\right), \tag{11}\] и поэтому угол \(\Delta\theta\) (показанный на рис. 2) между двумя асимптотами гиперболы равен: \[\Delta\theta = (\theta_+ - \theta_-) - \pi = \pi - 2\arccos\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{2Ev'^2b^2}{G^2M^2m}}} = \pi - 2\arccos\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{v'^4b^2}{G^2M^2}}}. \tag{12}\] В последнем равенстве мы использовали значение полной энергии, вычисленное в предыдущем пункте.

6. Угол отклонения — монотонно убывающая функция прицельного параметра, поэтому отклонение максимально, когда прицельный параметр минимален. Из рассуждений предыдущего пункта легко видеть, что точка наибольшего сближения соответствует \(\theta = 0\), и в этом случае минимальное расстояние между зондом и центром планеты легко получить из уравнения (1): \[r_{min} = \frac{v'^2b^2}{GM}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{v'^4b^2}{G^2M^2}}\right)^{-1}. \tag{13}\] Обращая уравнение (13), получаем прицельный параметр \[b = \sqrt{r_{min}^2 + \frac{2GM}{v'^2}r_{min}}. \tag{14}\] Заметим, что этот результат можно получить и иначе, учитывая, что вследствие сохранения момента импульса \[L = mv'b = mv'_{min}r_{min},\] где мы ввели скорость, соответствующую наибольшему сближению. Кроме того, закон сохранения энергии даёт \[E = \frac12 mv'^2 = \frac12 mv'^2_{min} - \frac{GMm}{r_{min}},\] и, объединяя эти два уравнения, снова получаем уравнение (14).

Прицельный параметр — возрастающая функция расстояния наибольшего сближения; поэтому, если зонд не может приблизиться к поверхности Юпитера меньше чем на два радиуса (и, значит, \(r_{min} = 3R_B\), где \(R_B\) — радиус тела Юпитера), минимально допустимое значение прицельного параметра равно \[b_{min} = \sqrt{9R_B^2 + \frac{6GM}{v'^2}R_B}. \tag{15}\] Из этого уравнения окончательно получаем максимально возможное отклонение: \[\Delta\theta_{max} = \pi - 2\arccos\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{v'^4b_{min}^2}{G^2M^2}}} = \pi - 2\arccos\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{v'^4}{G^2M^2}\left(9R_B^2 + \dfrac{6GM}{v'^2}R_B\right)}}, \tag{16}\] и, используя вычисленные ранее численные значения, получаем: \[b_{min} = 4{,}90\cdot 10^8\text{ м} \approx 7{,}0\,R_B \quad\text{и}\quad \Delta\theta_{max} = 1{,}526\text{ рад} \approx 87{,}4^\circ.\]

7. Конечное направление движения относительно оси \(x\) в системе отсчёта Юпитера задаётся начальным углом плюс угол отклонения, т. е. \(\theta_0 + \Delta\theta\), если зонд проходит позади планеты. Поэтому конечные составляющие скорости в системе отсчёта Юпитера равны \[\begin{cases} v'_x = v'\cos(\theta_0 + \Delta\theta), \\ v'_y = v'\sin(\theta_0 + \Delta\theta), \end{cases}\] а в системе отсчёта Солнца они равны \[\begin{cases} v''_x = v'\cos(\theta_0 + \Delta\theta) - V, \\ v''_y = v'\sin(\theta_0 + \Delta\theta). \end{cases}\] Поэтому конечная скорость зонда в системе отсчёта Солнца равна \[v'' = \sqrt{(v'\cos(\theta_0 + \Delta\theta) - V)^2 + (v'\sin(\theta_0 + \Delta\theta))^2}\] \[= \sqrt{v_0^2 + 2V^2 - 2v'V\cos(\theta_0 + \Delta\theta)}\] \[= \sqrt{v_0^2 + 2V^2 - 2v'V\left(\cos\theta_0\cos\Delta\theta - \sin\theta_0\sin\Delta\theta\right)} \tag{17}\] \[= \sqrt{v_0^2 + 2V^2 - 2V\left(V\cos\Delta\theta - v_0\sin\Delta\theta\right)}\] \[= \sqrt{v_0\left(v_0 + 2V\sin\Delta\theta\right) + 2V^2\left(1 - \cos\Delta\theta\right)}.\]

8. При максимально возможном угле отклонения численный результат равен \(v'' = 2{,}62\cdot 10^4\) м/с.