Задачи › Первый закон, работа газа

Поглощение излучения газом

  1. Поглощение излучения газом

    IPhO 1998/99, 11 кл.
    4/10

    Цилиндрический сосуд с вертикальной осью содержит молекулярный газ в состоянии термодинамического равновесия. Верхнее основание цилиндра может свободно перемещаться и сделано из стеклянной пластины; будем считать, что газ не просачивается наружу, а трение между стеклянной пластиной и стенками цилиндра как раз достаточно для гашения колебаний, но не приводит к сколько-нибудь существенным потерям энергии по сравнению с другими рассматриваемыми энергиями. Вначале температура газа равна температуре окружающей среды. Газ с хорошей точностью можно считать идеальным. Будем считать, что стенки цилиндра (включая основания) обладают очень малыми теплопроводностью и теплоёмкостью, поэтому теплообмен между газом и окружающей средой происходит очень медленно, и при решении этой задачи им можно пренебречь.

    Через стеклянную пластину мы направляем в цилиндр свет лазера постоянной мощности; это излучение легко проходит через воздух и стекло, но полностью поглощается газом внутри сосуда. Поглощая это излучение, молекулы переходят в возбуждённые состояния, из которых они быстро испускают инфракрасное излучение, ступенчато возвращаясь в основное молекулярное состояние; это инфракрасное излучение, однако, снова поглощается другими молекулами и отражается стенками сосуда, включая стеклянную пластину. Поэтому энергия, поглощённая от лазера, за очень короткое время переходит в тепловое движение (молекулярный хаос) и затем остаётся в газе достаточно долго.

    Мы наблюдаем, что стеклянная пластина поднимается вверх; через некоторое время облучения мы выключаем лазер и измеряем это перемещение.

    1. Используя приведённые ниже данные и — при необходимости — данные листа с физическими постоянными, вычислите температуру и давление газа после облучения. [2 балла]

    2. Вычислите механическую работу, совершённую газом вследствие поглощения излучения. [1 балл]

    3. Вычислите энергию излучения, поглощённую за время облучения. [2 балла]

    4. Вычислите мощность излучения лазера, поглощаемую газом, и соответствующее число фотонов (а значит, и элементарных актов поглощения) в единицу времени. [1,5 балла]

    5. Вычислите КПД процесса преобразования оптической энергии в изменение механической потенциальной энергии стеклянной пластины. [1 балл]

    Затем ось цилиндра медленно поворачивают на \(90^\circ\), переводя её в горизонтальное положение. Теплообменом между газом и сосудом по-прежнему можно пренебречь.

    1. Укажите, изменяются ли давление и/или температура газа в результате такого поворота, и если да — каково их новое значение. [2,5 балла]

    Данные

    Давление в помещении\(p_0 = 101{,}3\) кПа
    Температура в помещении\(T_0 = 20{,}0^\circ\)C
    Внутренний диаметр цилиндра\(2r = 100\) мм
    Масса стеклянной пластины\(m = 800\) г
    Количество газа в сосуде\(n = 0{,}100\) моль
    Молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме\(c_V = 20{,}8\) Дж/(моль\(\cdot\)К)
    Длина волны излучения лазера\(\lambda = 514\) нм
    Время облучения\(\Delta t = 10{,}0\) с
    Перемещение подвижной пластины после облучения\(\Delta s = 30{,}0\) мм

    На листе ответов к этой задаче результаты требуется дать и в виде аналитических выражений, и численно с единицами измерения: сначала выражение, затем число (например, \(A = bc = 1{,}23\text{ м}^2\)).

    Физические постоянные и общие данные (общий лист для всех задач тура). Помимо численных данных, приведённых в тексте отдельных задач, могут оказаться полезными некоторые общие данные и физические постоянные; их можно найти среди перечисленных ниже. Это почти самые точные из имеющихся в настоящее время данных, поэтому в них много цифр; однако от вас ожидается, что вы будете записывать результаты с числом цифр, соответствующим каждой задаче.

    Скорость света в вакууме: \(c = 299792458\text{ м}\cdot\text{с}^{-1}\); магнитная проницаемость вакуума: \(\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ Гн}\cdot\text{м}^{-1}\); диэлектрическая постоянная вакуума: \(\varepsilon_0 = 8{,}8541878\text{ пФ}\cdot\text{м}^{-1}\); гравитационная постоянная: \(G = 6{,}67259\cdot 10^{-11}\text{ м}^3/(\text{кг}\cdot\text{с}^2)\); газовая постоянная: \(R = 8{,}314510\) Дж/(моль\(\cdot\)К); постоянная Больцмана: \(k = 1{,}380658\cdot 10^{-23}\text{ Дж}\cdot\text{К}^{-1}\); постоянная Стефана: \(\sigma = 56{,}703\text{ нВт}/(\text{м}^2\cdot\text{К}^4)\); заряд протона: \(e = 1{,}60217733\cdot 10^{-19}\) Кл; масса электрона: \(m_e = 9{,}1093897\cdot 10^{-31}\) кг; постоянная Планка: \(h = 6{,}6260755\cdot 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с; начало шкалы Цельсия: \(T_K = 273{,}15\) К; масса Солнца: \(M_S = 1{,}991\cdot 10^{30}\) кг; масса Земли: \(M_E = 5{,}979\cdot 10^{24}\) кг; средний радиус Земли: \(r_E = 6{,}373\) Мм; большая полуось земной орбиты: \(R_E = 1{,}4957\cdot 10^{11}\) м; звёздные сутки: \(d_S = 86{,}16406\) кс; год: \(y = 31{,}558150\) Мс; стандартное значение ускорения свободного падения у поверхности Земли: \(g = 9{,}80665\text{ м}\cdot\text{с}^{-2}\); стандартное значение атмосферного давления на уровне моря: \(p_0 = 101325\) Па; показатель преломления воздуха для видимого света при стандартном давлении и \(15^\circ\)C: \(n_{air} = 1{,}000277\); солнечная постоянная: \(S = 1355\text{ Вт}\cdot\text{м}^{-2}\); масса Юпитера: \(M = 1{,}901\cdot 10^{27}\) кг; экваториальный радиус Юпитера: \(R_B = 69{,}8\) Мм; средний радиус орбиты Юпитера: \(R = 7{,}783\cdot 10^{11}\) м; сутки Юпитера: \(d_J = 35{,}6\) кс; год Юпитера: \(y_J = 374{,}32\) Мс; \(\pi\): \(3{,}14159265\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Давление газа до и после облучения одно и то же — его задают атмосфера и вес пластины, так что процесс изобарный. Поглощённая энергия идёт на изменение внутренней энергии и работу. При повороте цилиндра процесс адиабатический, а давление становится атмосферным.

    Ответ

    1) \(p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi r^2} = 102{,}32\) кПа, \(T_2 = T_0 + \dfrac{\Delta s(p_0\pi r^2 + mg)}{nR} = 322\text{ К} = 49^\circ\)C;  2) \(L = (mg + p_0\pi r^2)\Delta s = 24{,}1\) Дж;  3) \(Q = \Delta s(p_0\pi r^2 + mg)\left(\dfrac{c_V}{R} + 1\right) = 84\) Дж;  4) \(W = Q/\Delta t = 8{,}4\) Вт, \(W\lambda/(hc) = 2{,}2\cdot 10^{19}\text{ с}^{-1}\);  5) \(\eta = mg\Delta s/Q = 2{,}8\cdot 10^{-3} \approx 0{,}3\%\);  6) давление меняется: становится равным \(p_0\); температура меняется: \(T_3 = T_2(p_0/p)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 321\text{ К} = 48^\circ\)C.

    Решение

    1. В равновесии давление \(p\) внутри сосуда должно быть равно давлению в помещении \(p_0\) плюс давление, создаваемое весом подвижного основания: \(p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi r^2}\). Это верно и до, и после облучения. Вначале температура газа равна комнатной. Согласно уравнению состояния идеального газа, начальный объём газа \(V_1\) равен \(V_1 = \dfrac{nRT_0}{p}\) (где \(R\) — газовая постоянная), и поэтому высота \(h_1\) части цилиндра, занятой газом, равна \(h_1 = \dfrac{V_1}{\pi r^2} = \dfrac{nRT_0}{p_0\pi r^2 + mg}\). После облучения эта высота становится \(h_2 = h_1 + \Delta s\), и поэтому новая температура равна \[T_2 = T_0\left(1 + \frac{\Delta s}{h_1}\right) = T_0 + \frac{\Delta s(p_0\pi r^2 + mg)}{nR}.\] Численные значения: \(p = 102{,}32\) кПа; \(T_2 = 322\text{ К} = 49^\circ\)C.

    2. Механическая работа, совершённая газом против веса пластины, равна \(mg\Delta s\), а против давления в помещении — \(p_0\pi r^2\Delta s\), поэтому полная работа равна \(L = (mg + p_0\pi r^2)\Delta s = 24{,}1\) Дж.

    3. Внутренняя энергия вследствие изменения температуры изменяется на величину \(\Delta U = nc_V(T_2 - T_0)\). Теплота, подведённая к системе за время облучения \(\Delta t\), равна \[Q = \Delta U + L = nc_V\frac{T_0\Delta s}{h_1} + (mg + p_0\pi r^2)\Delta s = \Delta s\left(p_0\pi r^2 + mg\right)\left(\frac{c_V}{R} + 1\right).\] Эта теплота получена исключительно за счёт поглощения оптического излучения и поэтому совпадает с поглощённой оптической энергией, \(Q = 84\) Дж.

    Тот же результат можно получить, рассматривая изобарный процесс и вспомнив соотношение между молярными теплоёмкостями: \[Q = nc_p(T_2 - T_0) = n(c_V + R)\left[\frac{\Delta s(p_0\pi r^2 + mg)}{nR}\right] = \Delta s(p_0\pi r^2 + mg)\left(\frac{c_V}{R} + 1\right).\]

    4. Так как лазер излучает постоянную мощность, поглощённая оптическая мощность равна \(W = \dfrac{Q}{\Delta t} = \left(\dfrac{c_V}{R} + 1\right)\dfrac{\Delta s}{\Delta t}(p_0\pi r^2 + mg) = 8{,}4\) Вт. Энергия каждого фотона равна \(hc/\lambda\), и поэтому число фотонов, поглощаемых в единицу времени, равно \(\dfrac{W\lambda}{hc} = 2{,}2\cdot 10^{19}\text{ с}^{-1}\).

    5. Изменение потенциальной энергии равно механической работе, совершённой против веса пластины, поэтому КПД \(\eta\) преобразования энергии равен \[\frac{mg\Delta s}{Q} = \frac{1}{\left(1 + \dfrac{p_0\pi r^2}{mg}\right)\left(1 + \dfrac{c_V}{R}\right)} = 2{,}8\cdot 10^{-3} \approx 0{,}3\%.\]

    6. Когда цилиндр поворачивают и его ось становится горизонтальной, происходит адиабатический процесс, при котором давление меняется от \(p\) до \(p_0\), а температура поэтому меняется до нового значения \(T_3\). Уравнение адиабаты \(pV^\gamma = \text{const}\) теперь можно записать в виде \(T_3 = T_2\left(\dfrac{p_0}{p}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}\), где \(\gamma = \dfrac{c_p}{c_V} = \dfrac{c_V + R}{c_V} = 1 + \dfrac{R}{c_V} = 1{,}399\). Окончательно \(T_3 = 321\text{ К} = 48^\circ\)C.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх