Дни равноденствия

1. В соответствии с первым законом Кеплера Земля движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов \(F\) которого находится Солнце (рис. 113). Изменение длительности дня и ночи в течение года связано с тем, что ось собственного вращения Земли не перпендикулярна плоскости орбиты, а наклонена к ней под некоторым углом. В силу закона сохранения момента импульса эта ось не изменяет своего направления. В дни солнцестояния её проекция на плоскость орбиты Земли параллельна отрезку, соединяющему Землю и Солнце, в дни равноденствия — перпендикулярна ему. Следовательно, Солнце лежит на отрезке, соединяющем положения Земли в дни солнцестояния (точки \(B\) и \(D\)), и на отрезке, соединяющем положения Земли в дни равноденствия (точки \(A\) и \(C\)), а сами отрезки перпендикулярны друг другу (маленькими чёрточками, пересекающими изображения нашей планеты, показаны проекции оси собственного вращения Земли).

Из условия, что дни летнего и зимнего солнцестояния делят год пополам, и второго закона Кеплера (о постоянстве секториальной скорости) следует, что отрезок \(BD\) делит эллипс на две равные по площади части. Это возможно только в том случае, если он проходит через центр \(O\) эллипса, то есть является большой осью эллипса. Поскольку летний период между днями весеннего и осеннего равноденствия продолжительнее зимнего, в силу второго закона Кеплера площадь сегмента \(ABC\) больше площади сегмента \(CDA\), откуда \(BF > DF\). Значит, 21 июня Земля находится на наибольшем расстоянии от Солнца, а 21 декабря — на наименьшем.

2. Пусть \(S_B\) — площадь сегмента \(ABC\), а \(T_B\) — время движения Земли по маршруту \(ABC\), тогда в силу второго закона Кеплера \[\dfrac{S_B}{T_B} = \dfrac{\pi R^2}{T}.\qquad (145)\] Учитывая малое отличие орбиты Земли от окружности, можно считать заштрихованную область прямоугольником, тогда \[S_B \approx \dfrac{\pi R^2}{2} + 2Rf,\] где \(f = FO\) — фокусное расстояние эллипса. Из условия \(T_B + (T_B - \tau) = T\) находим \(T_B = (T + \tau)/2\). Подставив выражения для \(S_B\) и \(T_B\) в формулу (145), выразим \[f = \dfrac{\pi\tau}{4T}\,R.\] Находим искомое различие расстояний: \[\Delta R = 2f = \dfrac{\pi\tau}{2T}\,R \approx 4{,}5\cdot10^9\text{ м}.\] 3. Пусть \(v_B\) и \(v_D\) — скорости Земли в точках \(B\) и \(D\) соответственно, \(R_B = BF\), \(R_D = DF\), тогда из второго закона Кеплера следует, что \(v_BR_B = v_DR_D\). Находим искомое различие скоростей: \[\Delta v = v_D - v_B = \dfrac{R_B - R_D}{R_B}\cdot v_D = \dfrac{\Delta R}{R_B}\cdot v_B \approx \dfrac{\Delta R}{R}\cdot v,\] где \(v = 2\pi R/T\) — средняя орбитальная скорость Земли. Таким образом, \[\Delta v = \dfrac{2\pi\Delta R}{T} = \dfrac{\pi^2\tau R}{T^2} \approx 900\text{ м/с}.\]