Палочка на клиньях

1. Концы палочки ударятся о плоскость одновременно, только если палочка всё время будет опускаться горизонтально. Для этого необходимо и достаточно, чтобы отсутствовало вращение палочки в вертикальной плоскости, в которой лежит палочка, то есть сумма моментов сил, действующих на палочку, была равна нулю (рис. 110): \[N_1\cos\alpha_1\cdot L - N_2\cos\alpha_2\cdot L = 0,\qquad (136)\] где \(L\) — расстояние между центром масс \(C\) палочки, относительно которого записаны моменты, и точками её касания с клиньями.

Используя второй закон Ньютона, выразим ускорения \(a_1\) и \(a_2\) клиньев и горизонтальную составляющую \(a_x\) ускорения палочки: \[a_1 = \dfrac{N_1\sin\alpha_1}{m_1},\qquad a_2 = \dfrac{N_2\sin\alpha_2}{m_2},\qquad a_x = \dfrac{N_1\sin\alpha_1 - N_2\sin\alpha_2}{m}.\qquad (137)\] Запишем горизонтальные смещения клиньев относительно палочки к моменту \(t\): \[\Delta x_1 = \dfrac{(a_1 + a_x)t^2}{2},\qquad \Delta x_2 = \dfrac{(a_2 - a_x)t^2}{2}.\qquad (138)\] Вертикальное смещение \(\Delta y\) палочки одно и то же для обоих концов: \[\Delta x_1\operatorname{tg}\alpha_1 = \Delta y = \Delta x_2\operatorname{tg}\alpha_2,\] откуда после подстановки (138) и сокращения получаем \[(a_1 + a_x)\operatorname{tg}\alpha_1 = (a_2 - a_x)\operatorname{tg}\alpha_2.\qquad (139)\] Подставим выражения из формул (137) в (139): \[\left(\dfrac{N_1\sin\alpha_1}{m_1} + \dfrac{N_1\sin\alpha_1 - N_2\sin\alpha_2}{m}\right)\operatorname{tg}\alpha_1 = \left(\dfrac{N_2\sin\alpha_2}{m_2} - \dfrac{N_1\sin\alpha_1 - N_2\sin\alpha_2}{m}\right)\operatorname{tg}\alpha_2,\] откуда с использованием условия (136) находим искомую массу: \[m = \dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha_1 - \operatorname{tg}^2\alpha_2}{\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha_2}{m_2} - \dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha_1}{m_1}}.\qquad (140)\] 2. Рассматриваемая ситуация реализуется, если вычисленная из формулы (140) масса \(m\) положительна, откуда с учётом того, что \(\alpha_1 > \alpha_2\), следует неравенство \[\dfrac{m_1}{m_2} > \dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha_1}{\operatorname{tg}^2\alpha_2}.\]