Падение «гантельки»

Пусть \(\vec a\), \(\vec v\), \(\vec r\) — мгновенные ускорение, скорость и радиус-вектор шара, \(\vec F = -k\vec v\) — сила сопротивления воздуха, тогда второй закон Ньютона в процессе падения шара имеет вид \[m\vec a = m\vec g - k\vec v.\qquad (141)\] Умножив равенство (141) на маленький промежуток времени \(\Delta t\) и учитывая, что малое изменение скорости имеет вид \(\Delta\vec v = \vec a\Delta t\), а малое перемещение даётся формулой \(\Delta\vec r = \vec v\Delta t\), запишем \[m\Delta\vec v = m\vec g\Delta t - k\Delta\vec r.\] Суммируя это уравнение от начального момента \(t_0\), когда шар был расположен в точке \(\vec r_0\) и имел скорость \(\vec v_0\), до произвольного момента времени \(t\), получаем \[m(\vec v - \vec v_0) = m\vec g(t - t_0) - k(\vec r - \vec r_0),\] или, применительно к каждому из шаров в процессе раздельного падения, \[m(\vec v_1 - \vec v_{10}) = m\vec g(t - t_0) - k(\vec r_1 - \vec r_{10}),\qquad (142)\] \[m(\vec v_2 - \vec v_{20}) = m\vec g(t - t_0) - k(\vec r_2 - \vec r_{20}).\qquad (143)\] Пусть \(t_0\) — момент начала раздельного падения шаров, тогда можно считать, что \(\vec r_{10} = \vec r_{20}\), так как по условию шары небольшие, а нить короткая. В качестве \(t\) возьмём любой из моментов времени, когда скорости падающих шаров перестали изменяться, то есть их установившиеся скорости \(\vec v_1 = \vec v_2\), так как шары одинаковые. Учитывая эти равенства, вычтем соотношение (143) из (142): \[m(\vec v_{10} - \vec v_{20}) = k(\vec r_1 - \vec r_2),\] откуда найдём искомое расстояние между шарами: \[L = |\vec r_1 - \vec r_2| = \dfrac{m}{k}\,|\vec v_{10} - \vec v_{20}|.\qquad (144)\] Используя выражения для начального импульса шаров \(p_{\text{нач}} = m|\vec v_{10} + \vec v_{20}|\) и разности их энергий \(\Delta E = m|v_{10}^2 - v_{20}^2|/2\), преобразуем уравнение (144): \[L = \dfrac{m}{k}\cdot\dfrac{|\vec v_{10} - \vec v_{20}|\cdot|\vec v_{10} + \vec v_{20}|}{|\vec v_{10} + \vec v_{20}|} = \dfrac{2m}{k}\cdot\dfrac{m|v_{10}^2 - v_{20}^2|/2}{m|\vec v_{10} + \vec v_{20}|} = \dfrac{2m}{k}\cdot\dfrac{\Delta E}{p_{\text{нач}}}.\] Полагая \(a = 0\) в уравнении (141), находим установившуюся скорость \(v = mg/k\). Конечный импульс шаров \(p_{\text{кон}} = 2mv = 2m^2g/k\), откуда \(2m/k = p_{\text{кон}}/(mg)\). Подставляя последнее выражение и \(n = p_{\text{нач}}/p_{\text{кон}}\), получаем \[L = \dfrac{p_{\text{кон}}}{mg}\cdot\dfrac{\Delta E}{p_{\text{нач}}} = \dfrac{\Delta E}{mgn} = 1\text{ м}.\]