Выбоина

На стенке выбоины сила реакции лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр выбоины. Какая составляющая скорости шайбы при переходе через край не меняется? На что это похоже в оптике?

Рассмотрим скатывание шайбы по границе. В малой окрестности области скатывания участок деформации выбоины можно считать наклонным профилем. Тогда сила реакции на шайбу действует только в вертикальной плоскости, проходящей через центры шайбы и выбоины, а значит, из закона сохранения импульса следует, что перпендикулярная этому сечению компонента скорости шайбы сохраняется.

На поверхности вне выбоины скорость шайбы \(v_1\), и она направлена под углом \(\alpha\) к перпендикуляру к границе раздела. На дне выбоины скорость шайбы \(v_2\), и она направлена под углом \(\beta\). При переходе шайбы с одной горизонтальной плоскости на другую получается формула, похожая на закон преломления света: \[v_\perp = v_1 \sin\alpha = v_2 \sin\beta .\]

Отсюда \(\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}\), где \(n = \dfrac{v_2}{v_1}\). Проанализируем геометрию траектории. Построим вспомогательные высоты \(AH_1\) и \(BH_2\), длины которых по условию равны \(x_0\) и \(x_1\). Так как \(AO = OB = R\), то \(\angle OAB = \angle OBA = \beta\). Тогда из \(\triangle AOB\): \(AB = L = 2R\cos\beta\). Из геометрии трапеции \(AH_1H_2B\) видно, что \(x_0 - x_1 = L\sin(\alpha - \beta)\).

Тогда \(x_1 = x_0 - 2R\cos\beta\,(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)\), а из \(\triangle AOH_1\) имеем \(\sin\alpha = x_0/R\). Получаем зависимость \[\frac{x_1}{R} = \frac{x_0}{R}\left(\frac{2}{n^2}\left(\frac{x_0}{R}\right)^2 + \frac{2}{n}\sqrt{1 - \frac{n^2+1}{n^2}\left(\frac{x_0}{R}\right)^2 + \frac{1}{n^2}\left(\frac{x_0}{R}\right)^4} - 1\right).\] Она сложна для анализа, поэтому обратим внимание на центральную часть графика: там зависимость близка к линейной и \(x_0/R \ll 1\). Для центрального участка \[\frac{x_1}{R} = \frac{x_0}{R}\left(\frac{2}{n} - 1\right).\] Это выражение можно было получить сразу, воспользовавшись малостью углов \(\alpha\) и \(\beta\). При малых \(x_0\) зависимость \(x_1(x_0)\) линейная, её угловой коэффициент \(k = \dfrac{2}{n} - 1\). Строим аппроксимирующую прямую в центральной части графика.

Из графика \(k \approx 0{,}34\). Тогда \(n = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{2}{1+k} \approx 1{,}49\), откуда \(v_2 = 1{,}49\,v_1\). Из закона сохранения энергии \(\dfrac{m v_2^2}{2} = \dfrac{m v_1^2}{2} + m g h\) находим глубину выбоины: \(h = \dfrac{v_2^2 - v_1^2}{2g} \approx 0{,}61\,\dfrac{v_1^2}{g}\).

Теперь выясним, при каких условиях \(x_1\) не зависит от \(x_0\). При \(n = 2\) на центральном участке \(k = 0\): все траектории фокусируются в одной точке — там, где стоят ворота. Тогда \(v_2 = 2v_1\) и \(h = 1{,}5\,\dfrac{v_1^2}{g}\).