Удар шарика о доску

Силы упругости \(F_1\) и \(F_2\), действующие соответственно на первый и второй шарики со стороны доски с момента удара, появляются одновременно в момент соприкосновения первого шарика с доской, одновременно достигают своих максимальных значений и одновременно исчезают, когда один из шариков отрывается от доски (рис. 80).

При этом в любой момент времени выполняется соотношение \[F_1a = F_2b,\qquad(1)\] поскольку доска — это обыкновенный рычаг Архимеда, с помощью которого тот был готов «перевернуть Землю», если бы нашёл точку опоры (в нашем случае — точка \(O\)). Соотношение (1) верно во всех случаях, когда рычаг неподвижен или, как в нашем случае, не имеет массы и для того, чтобы его повернуть, не требуется никакого усилия. Если \(F_{1\,\text{ср}}\) и \(F_{2\,\text{ср}}\) — усреднённые за время удара значения сил \(F_1\) и \(F_2\), то \[F_{1\,\text{ср}}a = F_{2\,\text{ср}}b.\qquad(2)\] Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме, пренебрегая силой тяжести (в проекции на ось, направленную вертикально вниз): \[m_1(v_1 - v_0) = -F_{1\,\text{ср}}\Delta t,\qquad(3)\] \[m_2v_2 = -F_{1\,\text{ср}}\Delta t,\qquad(4)\] а также закон сохранения энергии при упругом ударе \[\dfrac{m_1v_0^2}{2} = \dfrac{m_1v_1^2}{2} + \dfrac{m_2v_2^2}{2}\qquad(5)\] (здесь \(v_1\) и \(v_2\) — скорости шаров после завершения удара; \(\Delta t\) — продолжительность удара).

Вводя обозначения \(\alpha = m_1/m_2\), \(\beta = \dfrac{b}{a}\) и решая совместно уравнения (1)–(4), получаем ответ: \[v_1 = v_0\dfrac{\alpha - \beta^2}{\alpha + \beta^2},\quad v_2 = -v_0\dfrac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta^2}.\] Анализ решения: Скорость \(v_2\) отрицательна при любых значениях \(\alpha\) и \(\beta\), т. е. второй шарик всегда движется вверх. Движение первого шарика после удара зависит от заданных соотношений \(\alpha\) и \(\beta\):

\(\alpha > \beta^2 \to v_1 > 0\), первый шарик «проваливается» вниз, увлекая за собой доску;

\(\alpha = \beta^2 \to v_1 = 0\), первый шарик и доска остаются на месте, а второй шарик подпрыгивает;

\(\alpha < \beta^2 \to v_1 < 0\), оба шарика подскакивают вверх.

Из закона сохранения энергии находим высоту, на которую поднимается второй шарик: \[h = \dfrac{v_2^2}{2g} = \dfrac{v_0^2}{2g}\left(\dfrac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta^2}\right)^2.\]