Сфера из полусфер

Так как потенциал заземлённой проводящей оболочки равен нулю, то поле в пространстве вне оболочки отсутствует. Поэтому поверхностная плотность заряда одной половины оболочки, находящейся вблизи первой полусферы, равна \(-\sigma_1\), а поверхностная плотность заряда другой половины оболочки, находящейся вблизи второй полусферы, равна \(-\sigma_2\). Следовательно, каждая из полусфер является обкладкой конденсатора, причём роль второй обкладки для неё играет соответствующая половина оболочки. Так как радиус оболочки близок к радиусу сферы, то поля в зазорах между полусферами и половинами оболочки можно считать однородными, а два получившихся конденсатора — плоскими.

Рассмотрим первый конденсатор. Напряжённость поля внутри него равна \(E = \sigma_1/\varepsilon_0\), а сила притяжения, действующая на единицу площади обкладки, составляет \(f = \sigma_1\cdot\dfrac{E}{2} = \dfrac{\sigma_1^2}{2\varepsilon_0}\). Величина \(f\) имеет смысл давления электростатического поля на поверхность заряженной полусферы. Поэтому полная сила, действующая на полусферу со стороны соответствующей половины оболочки, равна \(F_1 = fS = \dfrac{\pi R^2\sigma_1^2}{2\varepsilon_0}\), где \(S = \pi R^2\) — площадь основания полусферы (аналогичный подход используется также в решении задачи 2.73). Сила \(\vec F_1\), очевидно, направлена в сторону оболочки перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы. Сила \(\vec F_2\), действующая со стороны оболочки на вторую полусферу, может быть найдена при помощи аналогичных рассуждений: она равна по величине \(F_2 = \dfrac{\pi R^2\sigma_2^2}{2\varepsilon_0}\) и направлена противоположно силе \(\vec F_1\). Таким образом, суммарная сила электростатического происхождения, действующая на сферу, равна по величине \[F = |\vec F_1 + \vec F_2| = \dfrac{\pi R^2}{2\varepsilon_0}\cdot|\sigma_2^2 - \sigma_1^2|\] и направлена перпендикулярно плоскости, разделяющей полусферы, в сторону полусферы с бо́льшей плотностью заряда.

Если рассматриваемая оболочка будет изолированной, то, поскольку внутри металла электростатическое поле равно нулю, заряды на её внутренней поверхности будут такими же, как в случае заземлённой оболочки. Поэтому суммарная сила \(F\), действующая на внутреннюю сферу, не изменится. При этом на внешней поверхности оболочки появится заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду на внутренней поверхности оболочки, и в пространстве вне оболочки появится электрическое поле. Но, поскольку области пространства внутри и вне проводящей оболочки независимы друг от друга в смысле происходящих в них электрических явлений, то наличие поля снаружи от оболочки никак не будет влиять на поле внутри неё.