Стыковка станций

Будем считать, что время, необходимое для перехода между двумя орбитами, много меньше 30 часов, и им можно пренебречь. Угловое расстояние между двумя станциями равно \(\Delta\varphi = L/R\), где \(R\) — радиус основной круговой орбиты. Найдём зависимость угловой скорости \(\omega\) вращения спутника Земли по круговой орбите от её радиуса. Из второго закона Ньютона получаем: \[\omega^2R = G\dfrac{M_{\text{З}}}{R^2} = G\dfrac{M_{\text{З}}}{R_{\text{З}}^2}\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R}\right)^2 = g\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R}\right)^2,\] где \(R_{\text{З}}\) — радиус Земли, \(M_{\text{З}}\) — её масса, \(G\) — гравитационная постоянная. Отсюда для близких орбит с малой разностью радиусов \(\Delta R\) получаем: \(2\omega\Delta\omega R + \omega^2\Delta R = -2gR_{\text{З}}^2\Delta R/R^3\). Разделив это уравнение на \(\omega^2R = g\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R}\right)^2\), находим, что \(\Delta\omega = -\dfrac{3}{2}\omega\dfrac{\Delta R}{R}\) (здесь \(\Delta R < 0\), \(\Delta\omega > 0\)). С другой стороны, \(\Delta\varphi = \dfrac{L}{R} = t\Delta\omega = \dfrac{3}{2}\omega t\dfrac{|\Delta R|}{R}\), откуда, с учётом того, что \(\omega \approx \sqrt{g/R_{\text{З}}} \approx 1{,}2\cdot 10^{-3}\) с\(^{-1}\), окончательно получаем: \(|\Delta R| = \dfrac{2L}{3\omega t} \approx 15\) км.