Удар по рычагу

Второй закон Ньютона для любой части невесомого тела записывается, как \(0 = m\vec a = \sum\limits_i\vec F_i\). Следовательно, силы, действующие в данный момент на невесомое тело, не могут зависеть от состояния его движения и, таким образом, совпадают с силами, действующими на это тело при его равновесии. Значит, для сил давления обоих тел на рычаг мы можем записать условие равенства моментов: \(N_1L = N_2l\). Следовательно, для полных импульсов этих двух сил за всё время удара справедливо соотношение: \(p_1L = p_2l\). В то же время, согласно закону изменения импульса, суммарный импульс сил, действующих на тело во время удара, равен изменению импульса тела; импульсом силы тяжести мы можем пренебречь из-за малой длительности удара.

Итак, мы можем записать соотношение для величин изменения импульсов тел: \(M(v + \sqrt{2gH})L = mul\), где \(v\) и \(u\) — скорости тел \(M\) и \(m\) сразу после удара. Отсюда \(v = \dfrac{m}{M}\cdot\dfrac{l}{L}u - \sqrt{2gH}\). Так как тела абсолютно упругие, то из закона сохранения механической энергии следует, что \(MgH = \dfrac{Mv^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2}\), откуда с учётом предыдущего соотношения получаем: \[\dfrac{m^2}{2M}\left(\dfrac{l}{L}\right)^2u^2 - m\dfrac{l}{L}\sqrt{2gH}\,u + \dfrac{mu^2}{2} = 0.\] Таким образом, скорость тела массой \(m\) после удара будет равна \[u = \sqrt{2gH}\cdot 2M\Big/\left(\dfrac{ML}{l} + \dfrac{ml}{L}\right),\] а высота, на которую оно взлетит, \[h = \dfrac{u^2}{2g} = 4H\left(M\Big/\left(\dfrac{ML}{l} + \dfrac{ml}{L}\right)\right)^2.\]