Задачи › Теорема Гаусса

Колебания заряда

  1. Колебания заряда

    ВсОШ 2021/22, 11 кл.
    7/10

    Длинная диэлектрическая тонкостенная труба радиуса \(R\), равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\), закреплена горизонтально в поле тяжести \(g\). К верхней точке трубы одним концом прикреплена невесомая, нерастяжимая, непроводящая нить длины \(R\), на другом конце нити маленький заряженный шарик массы \(m\). Знаки зарядов шарика и трубы совпадают. Шарик сначала удерживают так, что нить не натянута, а затем отпускают. Через некоторое время движение прекращается, причём нить принимает форму прямого отрезка, перпендикулярного оси цилиндра.

    Рисунок

    1. Какие значения может принимать величина заряда шарика \(q\)?

    2. Определите величину силы натяжения нити при значениях заряда, полученных в первом пункте, и постройте график этой зависимости \(T(q)\) с указанием характерных точек и участков.

    3. Пусть модуль заряда шарика \(|q|\), причём \(|q| > 2\varepsilon_0 mg/|\sigma|\). Определите период малых гармонических колебаний шарика, происходящих в плоскости рисунка.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поле вне заряженной трубы такое же, как поле линейного источника: \(E = \dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}\). Для равновесия удобно рассмотреть треугольник сил, подобный треугольнику «нить — ось — шарик».

    Ответ

    1) \(|q| \ge \dfrac{2\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\); 2) \(T = mg\) при \(\dfrac{2\varepsilon_0 mg}{|\sigma|} \le |q| < \dfrac{4\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\) (нить наклонена), \(T = \dfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0} - mg\) при \(|q| \ge \dfrac{4\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\) (нить вертикальна); 3) \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{4\varepsilon_0 mR}{q\sigma - 4\varepsilon_0 mg}}\) при \(|q| > \dfrac{4\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\); \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{2\varepsilon_0 mR}{4\varepsilon_0 mg - q\sigma}}\) при \(\dfrac{2\varepsilon_0 mg}{|\sigma|} < |q| < \dfrac{4\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\).

    Решение

    Поле трубы \(E = \dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}\) (\(r\) — расстояние от оси). Если нить составляет угол \(\alpha\) с вертикалью, то \(r = 2R\cos\dfrac{\alpha}{2}\) и \(E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0\cos(\alpha/2)}\).

    Равновесие при натянутой нити: силы \(\vec T\), \(m\vec g\), \(q\vec E\) образуют треугольник, подобный треугольнику со сторонами \(R\), \(R\), \(r\). Отсюда \(T = mg\) и \(qE/r = mg/R\), т.е. \(q\sigma = 4\varepsilon_0 mg\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\).

    Вертикальная нить (\(\alpha = 0\)) — при \(q\sigma > 2\varepsilon_0 mg\) — устойчива при \(q\sigma > 4\varepsilon_0 mg\), и тогда \(T = \dfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0} - mg\). Наклонное положение устойчиво при \(q\sigma/(\varepsilon_0 mg)\) от \(2\) до \(4\) (а при \(|q| = 2\varepsilon_0 mg/|\sigma|\) нить горизонтальна). Поэтому минимальное значение модуля заряда \(|q_1| = \dfrac{2\varepsilon_0 mg}{|\sigma|}\) — ответ на первый пункт.

    Натяжение при наклонной нити постоянно и равно \(mg\); при \(|q| \ge 4\varepsilon_0 mg/|\sigma|\) нить вертикальна и \(T\) растёт линейно с зарядом. График: горизонтальный отрезок \(T = mg\) и наклонный луч.

    Малые колебания. При \(\alpha = 0\): \(mR\ddot\varphi = -\left(\dfrac{q\sigma}{4\varepsilon_0} - mg\right)\varphi\), так что \(\omega_1^2 = \dfrac{q\sigma}{4mR\varepsilon_0} - \dfrac{g}{R}\). В наклонном положении \(\alpha_2\) возвращающая сила \(F_x = -mg(1-\cos\alpha)\varphi\), и с учётом \(\cos\alpha = 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} - 1\) получаем \(\omega_2^2 = \dfrac{2g}{R} - \dfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mR}\). Периоды — по формулам ответа.

    При \(|q| = 4\varepsilon_0 mg/|\sigma|\) колебания ангармонические (разложение потенциальной энергии содержит \(\alpha^4\)).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх