Две резинки

Сложите силы упругости двух резинок и покажите, что результирующая сила пропорциональна смещению шайбы от некоторой точки на прямой \(OF\) — как у пружины. Что меняется при трении?

Равнодействующая сил упругости резинок при произвольном положении шайбы \(P\) (с \(\vec r = \overrightarrow{EP}\), \(E\) — середина \(BC\), \(\vec a = \overrightarrow{EC}\)) равна \(\vec F_{упр} = -k(\vec r + \vec a) - 3k(\vec r - \vec a) = -4k\left(\vec r - \dfrac{\vec a}{2}\right)\). Значит, сила всегда направлена к точке \(F\) — середине отрезка \(EC\) — и пропорциональна расстоянию до неё с коэффициентом \(4k\). Движение происходит по прямой \(OF\) как у пружины жёсткости \(4k\) с положением равновесия в \(F\).

Длина \(OF = l_0 = \dfrac{L\sqrt5}{2}\), начальная сила упругости \(F_0 = 2\sqrt5\,kL\). Если \(\mu mg \ge 2\sqrt5\,kL\), шайба не начнёт движение. Иначе уравнение движения до первой остановки \(m\ddot x = -4kx + \mu mg\) заменой \(x' = x - \dfrac{\mu mg}{4k}\) приводится к гармоническим колебаниям с амплитудой \(l_1 = l_0 - \dfrac{\mu mg}{4k}\) относительно «смещённого» положения равновесия. Максимальная скорость достигается при прохождении этого положения: \[\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{4kl_1^2}{2} \;\Rightarrow\; v_{max} = 2l_1\sqrt{\frac{k}{m}} = L\sqrt{\frac{5k}{m}} - \frac{\mu g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}.\] Последующие максимумы скорости меньше найденного, так как энергия убывает за счёт трения.

Скорость максимальна в положении равновесия, т.е. через четверть периода \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{4k}}\): \(\tau = \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{m}{k}}\).