Задачи › Сверхпроводники, сохранение потока

Соленоид и виток

  1. Соленоид и виток

    ВсОШ 2021/22, 11 кл.
    7/10

    Полубесконечный соленоид с радиусом витков \(r\) и плотностью намотки \(n\) (число витков на единицу длины) расположен соосно круговому сверхпроводящему витку радиуса \(R\) так, что его основание находится в плоскости витка. Известно, что \(r \ll R\). Изначально ток в витке отсутствовал. Индуктивность витка равна \(L\). Силу тока в соленоиде медленно увеличивают от нуля до \(I\) и далее поддерживают постоянной. Провода, подводящие ток к соленоиду, расположены таким образом, что их магнитным полем и их взаимодействием с другими элементами можно пренебречь. Направим ось \(x\) так, как показано на рисунке.

    Рисунок

    1. Точки \(A\) и \(C\) расположены в плоскости витка на расстояниях \(r/3\) и \(3r\) соответственно от оси симметрии системы. Найдите проекции индукции \(B_{Ax}\) и \(B_{Cx}\) магнитного поля, создаваемого соленоидом в точках \(A\) и \(C\) соответственно.

    2. Найдите силу тока \(I_в\) в витке. Укажите, как он направлен.

    3. Найдите величину и направление силы магнитного взаимодействия, действующей на соленоид со стороны витка.

    Примечание: для бесконечного соленоида поле внутри соленоида однородное, вектор магнитной индукции направлен параллельно оси и его величина определяется формулой \(B_0 = \mu_0 n I\). Снаружи бесконечного соленоида \(\vec B = 0\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(B_{Ax} = \dfrac{\mu_0 n I}{2}\), \(B_{Cx} = 0\); 2) \(I_в = -\dfrac{\pi\mu_0 n I r^2}{2L}\) (ток в витке направлен против тока в соленоиде); 3) \(F_x = -\dfrac{1}{RL}\left(\dfrac{\pi\mu_0 n I r^2}{2}\right)^2\): соленоид и виток отталкиваются.

    Решение

    1. Добавим к соленоиду такой же, дополнив его до бесконечного, с противоположным током. Поле добавленного соленоида \(\vec B_2 = -\vec B_1\); в основании \(B_x + B_{1x} = B_0\), а из симметрии относительно основания \(B_x + B_{2x} = 0\). Отсюда \(B_x = B_{1x} = \dfrac{B_0}{2} = \dfrac{\mu_0 n I}{2}\) в точках основания, т.е. \(B_{Ax} = \dfrac{\mu_0 n I}{2}\). Вне бесконечного соленоида \(\vec B = 0\), поэтому в точках вне основания поле направлено в плоскости основания, и \(B_{Cx} = 0\). (То же получается по теореме о телесном угле: боковая поверхность видна под углом \(2\pi\) из точек основания и под нулевым углом из точек в плоскости вне основания.)

    2. Поскольку виток сверхпроводящий, поток через него постоянен и равен нулю. Поток поля соленоида через виток \(\Phi_c = \dfrac{B_0 S}{2} = \dfrac{\pi\mu_0 n I r^2}{2}\) (поле в плоскости витка на расстояниях меньших \(r\) равно \(B_0/2\), а на больших \(r\) — нулю). Из \(\Phi_c + LI_в = 0\): \(I_в = -\dfrac{\pi\mu_0 n I r^2}{2L}\); ток направлен против тока в соленоиде.

    3. Сила найдена через поток магнитного поля витка через боковую поверхность соленоида: \(F_x = -In\Phi_{бок}\), где по теореме Гаусса \(\Phi_{бок} = -\Phi_{осн}\). Поле витка в ближнем основании соленоида однородно и равно \(B_{вx} = \dfrac{\mu_0 I_в}{2R}\), поэтому \(\Phi_{осн} = \dfrac{\mu_0 I_в S}{2R}\) и \(F_x = -\dfrac{1}{RL}\left(\dfrac{\pi\mu_0 n I r^2}{2}\right)^2\). Сила отталкивания. Тот же результат получается энергетическим методом: \(\dfrac{dE}{dx} = -\dfrac{I^2 L_{вз}}{L}\dfrac{dL_{вз}}{dx}\), где \(L_{вз} = \dfrac{\mu_0 n S}{2}\) при начальном положении и \(dL_{вз} = \dfrac{\mu_0 S n\,dx}{2R}\) при сдвиге.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх