Сверхпроводящее кольцо в поле

Если кольцо находится в однородном магнитном поле индукции \(B\) и в кольце течет ток \(I \ne 0\) (при \(0 \le \alpha \le \dfrac\pi2\)), то единственным положением устойчивого равновесия является положение, когда \(\alpha = \dfrac\pi2\) и вектор индукции собственного магнитного поля кольца в его центре направлен вдоль \(\vec B\). Пусть \(\alpha = \dfrac\pi2\), а в кольце течет ток \(I\) таким образом, что кольцо находится в устойчивом положении равновесия.

Магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящее кольцо, сохраняется, поэтому \[LI_0 = LI + B\pi R^2.\] Отсюда \[I = I_0 - \dfrac{B\pi R^2}{L}.\] Из условия, что \(I > 0\), следует, что \(I_0 > \dfrac{B\pi R^2}{L}\). Следовательно, при \(I_0 > \dfrac{B\pi R^2}{L}\) угол \(\alpha = \dfrac\pi2\). При \(I_0 < \dfrac{B\pi R^2}{L}\) устойчивого положения с током \(I \ne 0\) нет, поэтому устойчивое положение равновесия в этом случае будет при \(I = 0\).

Пусть при \(I = 0\) угол \(\alpha \ne \dfrac\pi2\). По закону сохранения магнитного потока \[LI_0 = \pi R^2B\sin\alpha.\] Отсюда \[\alpha = \arcsin\left(\dfrac{LI_0}{\pi R^2B}\right).\] Графики зависимости \(\alpha(I_0)\) и \(I(I_0)\) приведены на рисунках 162 и 163.

3. Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля в кольце \(I_0 > \dfrac{\pi R^2B}{L}\), а в магнитном поле сила тока в кольце \(I = I_0 - \dfrac{\pi R^2B}{L}\). Найдем работу по удалению кольца из области однородного магнитного поля. На рисунке 164 показано произвольное положение кольца, когда его вытянули на величину \(x\). На кольцо со стороны поля будет действовать сила Ампера \[F_x = I_xBl_x,\qquad(1)\] где \(I_x\) — сила тока в кольце. По закону сохранения магнитного потока \[LI_0 = LI_x + B(\pi R^2 - S_x),\] где \(S_x\) — площадь заштрихованной на рисунке области. Следовательно, \[I_x = I_0 - \dfrac{(\pi R^2 - S_x)B}{L}.\qquad(2)\] После подстановки (2) в (1) получим \[F_x = \left[I_0 - \dfrac{(\pi R^2 - S_x)B}{L}\right]Bl_x.\]

Работа по удалению кольца из поля равна \[A_{\text{магн}} = \int\limits_0^{2R}F_x\,dx = \int\limits_0^{2R}\left[I_0 - \dfrac{(\pi R^2 - S_x)B}{L}\right]Bl_x\,dx = \int\limits_0^{\pi R^2}\left[I_0 - \dfrac{(\pi R^2 - S_x)B}{L}\right]B\,dS_x = \pi R^2B\left(I_0 - \dfrac{\pi R^2B}{2L}\right).\] С учетом поля тяжести \[A = A_{\text{магн}} + 2MgR = \pi R^2B\left(I_0 - \dfrac{\pi R^2B}{2L}\right) + 2MgR.\]