Масса пружины

Жесткость данной пружины \(k = \dfrac{Mg}{\Delta x_0}\). Найдем жесткость \(k^*\) небольшого элемента этой пружины длиной \(dx\). Если пружина растянута на величину \(\Delta x\), то очевидно, что удлинение \(\delta x\) элемента пружины длиной \(dx\) равно \(\delta x = \dfrac{\Delta x}{l_0}\,dx\), где \(l_0\) — длина пружины, при этом упругая сила в любом сечении пружины равна \(F = k\Delta x\). С другой стороны, деформация элемента пружины \(dx\) может быть записана в виде \(\delta x = \dfrac{F}{k^*} = \dfrac{k\Delta x}{k^*}\). Приравняв два выражения для \(\delta x\), получим \(k^* = k\dfrac{l_0}{dx}\).

1) Рассмотрим вертикально подвешенную пружину (см. рис. 160). Распределение силы \(F_x\) вдоль оси \(x\) будет иметь вид \[F_x = \dfrac{Mg}{l_0}(l_0 - x).\] Удлинение элемента пружины длиной \(dx\), имеющего координату \(x\), равно \[\delta x = \dfrac{F_x}{k^*} = \dfrac{Mg(l_0 - x)\,dx}{kl_0^2} = \dfrac{(l_0 - x)\Delta x_0}{l_0^2}\,dx.\] Очевидно, что удлинение всей пружины \[\Delta x = \int\limits_0^{l_0}\dfrac{(l_0 - x)\Delta x_0}{l_0^2}\,dx = \dfrac{\Delta x_0}{2}.\]

2) Пусть в некоторый момент времени груз массой \(m\) сместился от равновесного положения (\(x = 0\)) на величину \(x\) (см. рис. 161). Найдем полную энергию системы «пружина + груз» массой \(m\). Кинетическая энергия груза \(T_m = \dfrac{m\dot x^2}{2}\).

Если смещение правого конца пружины \(x\), то смещение элемента пружины с координатой \(y\) равно \[x_y = \dfrac{x}{l_0}\,y.\] Следовательно, скорость элемента пружины с координатой \(y\) \[v_y = \dot x_y = \dfrac{y}{l_0}\,\dot x,\]

а кинетическая энергия элемента пружины длиной \(dy\) \[dT_{\text{пр}} = \dfrac{M}{l_0}\,dy\,\dfrac{y^2}{2l_0^2}\,\dot x^2 = \dfrac{M\dot x^2}{2l_0^3}\,y^2\,dy.\] Полная кинетическая энергия пружины \[T_{\text{пр}} = \int\limits_0^{l_0}\dfrac{M\dot x^2}{2l_0^3}\,y^2\,dy = \dfrac{M\dot x^2}{6}.\] Теперь найдем энергию упругой деформации пружины \[U = \dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{Mg}{2\Delta x_0}\,x^2.\] Полная энергия системы «пружина + груз» \[\dfrac{m\dot x^2}{2} + \dfrac{M\dot x^2}{6} + \dfrac{Mg}{2\Delta x_0}\,x^2 = \text{const}.\] Продифференцировав по времени \(t\), получим уравнение движения груза: \[(m + M/3)\ddot x + \dfrac{Mg}{\Delta x_0}\,x = 0.\] Период колебания груза \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{(m + \dfrac M3)\Delta x_0}{Mg}}\).