Шарики во вращающемся сосуде

1. Мысленно выделим во вращающейся жидкости элемент объема в виде шарика радиусом \(r\), расположенным на расстоянии \(x\) от оси вращения. Данный элемент жидкости вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью \(\omega\). Следовательно, радиальная составляющая силы Архимеда \(F_r\) является центростремительной силой, которая равна \[F_r = \rho_0\dfrac43\pi r^3\omega^2x,\] где \(\rho_0\) — плотность воды. На каждый из трех шариков, расположенных на расстоянии \(x\) от оси вращения, будет действовать именно такая сила, поскольку радиусы шариков одинаковы, а распределение давления в жидкости зависит только от \(x\). Для шарика 1, плотность которого \(\rho_1 < \rho_0\), сила \(F_r\) является «избыточной», т. е. она больше, чем та, которая необходима для его стационарного вращения по окружности радиуса \(x\). Поэтому шарик 1 будет смещаться к оси вращения и в конце концов окажется на оси (устойчивое положение равновесия). Очевидно, что шарик 2 останется на своем месте, а шарик 3, плотность которого \(\rho_3 > \rho_0\), будет смещаться от оси вращения и упрется в боковую стенку цилиндра. Для этого шарика радиальная результирующая сила давления со стороны жидкости не достаточна для того, чтобы обеспечить ему стационарное вращение.

2. Результирующая сила давления со стороны воды на шарик 1 будет иметь только вертикальную составляющую, равную \[F_1 = F_{1\text{в}} = \rho_0\dfrac43\pi r^3g.\] На шарик 2 действует результирующая сила \(F_2\), которая имеет две составляющих: вертикальную \(F_{2\text{в}} = \rho_0\dfrac43\pi r^3g\) и радиальную \[F_{2r} = \rho_0\dfrac43\pi r^3\omega^2\,\dfrac R2.\] \[F_2 = \dfrac43\pi r^3\rho_0\sqrt{g^2 + \dfrac{\omega^4R^2}{4}}.\] Аналогично на шарик 3 действует результирующая сила \[F_3 = \dfrac43\pi r^3\rho_0\sqrt{g^2 + \omega^4R^2};\] ее составляющие \(F_{3\text{в}} = \rho_0\dfrac43\pi r^3g\), \(F_{3r} = \rho_0\dfrac43\pi r^3\omega^2R\).