Пластина между обкладками

Пластина 3 оторвется от пластины 2, когда электрическая сила \(F_3\) будет равна силе тяжести \(Mg\). Пусть это произойдет при напряжении источника \(U_0\). В этот момент на пластине 3 будет находиться положительный заряд \(Q_0 = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}\,U_0\). Электростатическая сила, действующая на пластину 3 со стороны пластины 1, равна \(F_{\text{э}}(0) = \dfrac{Q_0^2}{2\varepsilon_0S}\). Отрыв произойдет при условии \[\dfrac{Q_0^2}{2\varepsilon_0S} \ge Mg.\] Выражая \(Q_0\) через \(U_0\), получим, что \(U_0 \ge \sqrt{\dfrac{2Mgd^2}{\varepsilon_0S}}\).

Рассмотрим теперь некоторый произвольный момент времени, когда пластина 3 движется к пластине 1 и находится от пластины 2 на расстоянии \(x\) (рис. 165). Пусть на пластине 2 в этот момент времени находится заряд \(q\), тогда на пластине 1 будет заряд \(-(Q_0 + q)\). Источник постоянного напряжения поддерживает между пластинами 1 и 2 разность потенциалов \(U_0\): \[U_0 = \dfrac{qd}{2\varepsilon_0S} + \dfrac{(Q_0 + q)d}{2\varepsilon_0S} + \dfrac{Q_0(d - x)}{2\varepsilon_0S} - \dfrac{Q_0x}{2\varepsilon_0S} = \dfrac{Q_0d}{\varepsilon_0S} + \dfrac{qd}{\varepsilon_0S} - \dfrac{Q_0x}{\varepsilon_0S}.\]

Из этого уравнения найдем заряд \(q\) на пластине 2 \[q = \dfrac{U_0\varepsilon_0S}{d} - Q_0\left(1 - \dfrac xd\right) = \dfrac{\varepsilon_0SU_0x}{d^2}.\] Теперь найдем электростатическую силу, действующую на пластину 3: \[F_{\text{э}}(x) = Q_0\left(\dfrac{Q_0}{2\varepsilon_0S} + \dfrac{q}{\varepsilon_0S}\right) = \dfrac{\varepsilon_0SU_0^2}{2d^2}\left(1 + \dfrac{2x}{d}\right).\] Результирующая сила, действующая на пластину 3 вдоль оси \(x\), равна \[F_x = F_{\text{э}} - Mg = \dfrac{\varepsilon_0SU_0^2x}{d^3} = Mg\,\dfrac{2x}{d}.\] Работа, совершенная этой силой \(A = \displaystyle\int\limits_0^d Mg\,\dfrac{2x}{d}\,dx = Mgd\).

Из закона сохранения энергии запишем \(A = \dfrac{Mv^2}{2}\), откуда находим скорость \(v = \sqrt{2gd}\).