Шарик и платформа на пружине

Пусть шарик перед ударом о платформу имеет скорость \(v\), а платформа в этот же момент имеет скорость \(V\). Направим координатную ось \(X\) вниз и применим для процесса столкновения шарика массой \(m\) и платформы массой \(M\) закон сохранения импульса: \(mv - MV = -mv + MV\). Отсюда \(\dfrac{m}{M} = \dfrac{V}{v}\).

Время между столкновениями шарика и платформы, с одной стороны, равно времени полёта шарика \(t = 2v/g\), а с другой стороны, \(t = \dfrac{T}{2} + NT\), где \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}\) — период свободных колебаний платформы, \(N = 0, 1, 2, \ldots\) — число полных периодов колебаний платформы, прошедших между соударениями. Отсюда находим скорость шарика перед ударом: \(v = \dfrac{gT}{4}(2N + 1)\). Из закона сохранения механической энергии для свободных колебаний платформы получаем: \(\dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{MV^2}{2}\), откуда \(V = A\sqrt{\dfrac{k}{M}} = 2\pi\dfrac{A}{T}\). Значит, \[\dfrac{m}{M} = \dfrac{V}{v} = \dfrac{2\pi A}{vT} = \dfrac{8\pi A}{gT^2(2N + 1)},\quad N = 0, 1, 2, \ldots\]