Два цикла одноатомного газа

Рассмотрим сначала исходный цикл и выразим сообщаемое газу количество теплоты через другие параметры системы. Из первого начала термодинамики (\(\Delta Q = \Delta U + \Delta A\)) следует, что теплота сообщается газу на участках 1–2 и 2–3. Значит, количество теплоты, сообщённое газу за один цикл: \[Q = Q_{12} + Q_{23} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) + \dfrac{5}{2}\nu R(T_3 - T_2).\] Выразим температуру \(T_2\) через \(T_1\). Для этого рассмотрим участки 1–2 и 3–4 и запишем для них закон Шарля: \[\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2},\qquad \dfrac{p_3}{T_3} = \dfrac{p_4}{T_4},\] причём \(p_2 = p_3\), \(p_1 = p_4\), \(T_2 = T_4\). Отсюда последовательно получаем: \[\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2},\qquad \dfrac{p_1}{T_2} = \dfrac{p_2}{T_3},\qquad \dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{T_2}{T_3},\qquad T_2 = \sqrt{T_1T_3},\] откуда с учётом того, что \(T_3 = 16T_1\), находим, что \(T_2 = 4T_1\). Теперь количество теплоты \(Q\) также можно выразить через \(T_1\): \[Q = \dfrac{3}{2}\nu R(4T_1 - T_1) + \dfrac{5}{2}\nu R(16T_1 - 4T_1) = \dfrac{69}{2}\nu RT_1.\] Рассмотрим далее цикл 2–3–4–\(A\)–\(B\)–\(C\)–2. Теплота \(Q_1\) сообщается газу на участках \(C\)–2, 2–3 и \(A\)–\(B\). Очевидно, что \(Q_1 = Q - Q_{1C} + Q_{AB}\), где \(Q_{1C} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_C - T_1)\), а \(Q_{AB} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_B - T_A)\). Для того, чтобы сравнить \(Q_1\) и \(Q\), выразим \(T_A\), \(T_B\) и \(T_C\) через \(T_1\). По аналогии с циклом 1–2–3–4 и с учётом того, что \(T_B = T_2 = 4T_1\), можно утверждать, что в цикле 1–\(C\)–\(B\)–\(A\)–1 \[T_A = \sqrt{T_1T_B} = \sqrt{T_1T_2} = 2T_1 = T_C.\] Подставив найденные значения температур в выражение для \(Q_1\), получим: \[Q_1 = \dfrac{69}{2}\nu RT_1 - \dfrac{3}{2}\nu R(2T_1 - T_1) + \dfrac{3}{2}\nu R(4T_1 - 2T_1) = \dfrac{72}{2}\nu RT_1.\] Учитывая, что \(\nu RT_1 = \dfrac{2}{69}Q\), приходим к окончательному ответу: \(Q_1 = \dfrac{24}{23}Q\).