Сверхпроводящее кольцо подпрыгивает

У сверхпроводящего кольца поток поля сохраняется, поэтому ток в нём определяется потоком соленоида и индуктивностью кольца. Кольцо подпрыгивает, когда сила Ампера на него превысит вес.

\(U=U_0\,\dfrac{d_2}{d_1}\sqrt{\dfrac{\ln(1{,}4\,D/d_2)}{\ln(1{,}4\,D/d_1)}}\).

Что происходит. При подключении соленоида через конденсатор ток в нём растёт от нуля до наибольшего значения, пропорционального \(U\) (контур из соленоида и конденсатора не зависит от кольца: оно маленькое), и поле у торца растёт вместе с ним. Кольцо сверхпроводящее: сопротивления нет, и ЭДС индукции не может создать в нём напряжения на сопротивлении, поэтому полный поток через кольцо остаётся нулевым. Значит, в кольце наводится ток, поле которого компенсирует поток соленоида. У торца линии поля расходятся, и на кольцо с этим током действует сила Ампера, направленная вверх: кольцо отталкивается от торца. Оно подпрыгивает, когда наибольшая сила превысит вес. Главная идея — выразить силу и вес через толщину проволоки \(d\) и сравнить два опыта.

Обозначения. \(B\) — индукция поля соленоида в области кольца, \(S=\pi D^2/4\) — площадь, охваченная кольцом (кольцо мало, поле на ней считаем однородным), \(i\) — ток в кольце, \(L\) — его индуктивность, \(m\) — масса кольца, \(B_r\) — радиальная составляющая поля на проволоке.

1. Ток в кольце. Для сверхпроводящего контура полный поток сохраняется: до включения он равен нулю, и остаётся нулевым. Полный поток складывается из потока соленоида \(BS\) и собственного потока кольца \(Li\): \[BS+Li=0\quad\Rightarrow\quad |i|=\frac{BS}{L} ,\] направление тока — такое, что его поле противоположно полю соленоида (правило Ленца). Обратите внимание: \(i=\mathcal{E}/R\) здесь писать нельзя, \(R=0\); ток определяет не скорость изменения поля, а сам поток и индуктивность. Чем толще проволока (меньше \(L\)), тем ток больше.

2. Сила на кольцо. Радиальная составляющая поля пропорциональна самому полю при заданных размерах и положении кольца: \(B_r=\beta B\), множитель \(\beta\) от толщины проволоки не зависит. Сила Ампера \(i\,d\vec l\times\vec B\) на каждый элемент кольца: составляющие от \(B_z\) лежат в плоскости кольца и в сумме дают ноль, а от \(B_r\) направлены вдоль оси, все в одну сторону (вверх при токе, противоположном току соленоида; рисунок). Сумма по кольцу длиной \(\pi D\): \[F=|i|\,B_r\,\pi D=\beta\pi D\,\frac{S}{L}\,B^2 .\]

3. Условие прыжка. Кольцо оторвётся от картона, когда наибольшее значение силы сравняется с весом: \(F_{\max}=mg\). Индукция \(B\) пропорциональна току соленоида, а тот — напряжению источника: \(B_{\max}=\gamma U\), где \(\gamma\) зависит только от соленоида, конденсатора и положения кольца. Подставим: \[\beta\pi D\,S\gamma^2\,\frac{U^2}{L}=mg\quad\Rightarrow\quad U^2=\frac{mg}{\beta\pi D S\gamma^2}\;L .\] У двух колец одинаковы \(D\), материал, положение и множители \(\beta\), \(\gamma\); различаются толщиной проволоки: масса пропорциональна объёму проволоки, \(m\propto d^2D\), а индуктивность \(L=kD\ln(1{,}4D/d)\). Значит, \(U^2\propto m\,L\), и после подстановки \(m\propto d^2\), \(L\propto\ln(1{,}4D/d)\) получаем \[U^2\propto d^2\ln\frac{1{,}4\,D}{d}.\]

4. Соберём ответ. Опыт с первым кольцом даёт \(U_0\) при \(d=d_1\). Для второго: \[\frac{U}{U_0}=\frac{d_2}{d_1}\sqrt{\frac{\ln(1{,}4D/d_2)}{\ln(1{,}4D/d_1)}} .\] Обратите внимание: ответ не зависит от неизвестных нам величин — \(C\), числа витков соленоида, высоты, массы материала — они одинаковы в обоих опытах и сокращаются; поэтому условие и не даёт их.

Ответ: \(U=U_0\dfrac{d_2}{d_1}\sqrt{\dfrac{\ln(1{,}4D/d_2)}{\ln(1{,}4D/d_1)}}\).

Проверка. При \(d_2=d_1\) получаем \(U=U_0\). Второй способ, через энергию: энергия сверхпроводящего кольца в поле \(W=(BS)^2/(2L)\), сила \(F=-\partial W/\partial z\) пропорциональна \(B^2/L\) — как и в пункте 2. Предел: если бы \(L\) от \(d\) не зависела, получилось бы \(U\propto d\) (вес растёт как \(d^2\), сила от \(d\) не зависит, \(U^2\propto d^2\)); логарифм даёт слабую поправку: более толстое кольцо имеет меньшую индуктивность, больший ток и лучше отталкивается. Например, при \(D/d_1=100\) и \(d_2=2d_1\) получается \(U=1{,}85\,U_0\) вместо \(2\,U_0\) (рисунок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.