Анизотропная полоска

В анизотропной среде плотность тока и напряжённость поля не параллельны, но закон Ома остаётся верным вдоль каждой из осей. Через боковые края полоски ток не течёт, поэтому поперечная составляющая плотности тока равна нулю.

\(\dfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}=\dfrac{U_0\,d+V\,L}{U_0\,d-V\,L}\).

Что происходит. В такой пластинке закон Ома записывается отдельно для каждой оси: \(j_X=\sigma_XE_X\), \(j_Y=\sigma_YE_Y\). Поэтому вектор плотности тока \(\vec j\) не параллелен вектору напряжённости \(\vec E\). Ток по полоске течёт вдоль неё, поперёк тока нет: через боковые края он выйти не может. Чтобы поперечный ток был нулевым, внутри полоски должно возникнуть поперечное электрическое поле: именно его мы и измеряем вольтметром как \(V/d\). Главная идея — записать условие «поперечного тока нет» через проекции на оси \(X\) и \(Y\).

Обозначения. Ось \(s\) — вдоль полоски, ось \(t\) — поперёк, в плоскости пластинки. Единичные векторы осей: \(\vec e_s=(\vec e_X+\vec e_Y)/\sqrt2\), \(\vec e_t=(\vec e_Y-\vec e_X)/\sqrt2\) (оси \(X\) и \(Y\) повёрнуты на \(\mp45^\circ\) к полоске, как на рисунке). Поле в середине полоски однородно (при \(L\gg d\) края у электродов не важны): продольная составляющая \(E_\parallel=U_0/L\), поперечная \(E_\perp=V/d\) (разность потенциалов между краями в одном сечении).

1. Проекции поля на оси \(X\) и \(Y\). Разложим \(\vec E=E_\parallel\vec e_s+E_\perp\vec e_t\) по осям (рисунок слева ниже): \[E_X=\frac{E_\parallel-E_\perp}{\sqrt2},\qquad E_Y=\frac{E_\parallel+E_\perp}{\sqrt2}.\]

2. Плотность тока. Закон Ома вдоль каждой оси: \(j_X=\sigma_XE_X\), \(j_Y=\sigma_YE_Y\). Вектор \(\vec j\) складывается из \(\vec j_X\) и \(\vec j_Y\) (рисунок справа ниже). Его поперечная составляющая равна \(j_t=(j_Y-j_X)/\sqrt2\).

3. Условие «ток течёт только вдоль полоски». Через боковой край ток течь не может, а при \(L\gg d\) картина одинакова по всей длине, поэтому \(j_t=0\) в каждой точке полоски, то есть \(j_X=j_Y\): \[\sigma_X\,(E_\parallel-E_\perp)=\sigma_Y\,(E_\parallel+E_\perp)\quad\Rightarrow\quad\frac{E_\perp}{E_\parallel}=\frac{\sigma_X-\sigma_Y}{\sigma_X+\sigma_Y}.\] Обратите внимание: поле \(\vec E\) не направлено вдоль полоски, хотя ток течёт вдоль неё. Если принять \(E_\perp=0\), получится \(\sigma_X=\sigma_Y\), то есть изотропная среда.

4. Соберём ответ. Подставим \(E_\parallel=U_0/L\) и \(E_\perp=V/d\); для краткости \(q=\dfrac{VL}{U_0d}\). Тогда \(q=\dfrac{\sigma_X-\sigma_Y}{\sigma_X+\sigma_Y}\), откуда \[\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}=\frac{1+q}{1-q}=\frac{U_0\,d+V\,L}{U_0\,d-V\,L}.\] Условие \(V\ll U_0\) не означает, что \(q\) мало: множитель \(L/d\gg1\) может сделать \(q\) порядка единицы. Всегда \(q<1\), как и должно быть при \(\sigma_Y>0\).

Ответ: \(\dfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}=\dfrac{U_0d+VL}{U_0d-VL}\).

Проверка. Изотропия \(\sigma_X=\sigma_Y\): \(q=0\), \(V=0\), поперечного напряжения нет. Предел \(\sigma_Y\to0\): \(q\to1\), \(E_\perp=E_\parallel\), поле направлено вдоль оси \(Y\) (\(E_X=0\)), и тока нет: вдоль полоски проводить нечем. Второй способ: проводимость полоски вдоль неё \(\sigma_s=j_s/E_\parallel\), где \(j_s=(j_X+j_Y)/\sqrt2=\sqrt2\,j_X\), и \(j_X=\sigma_XE_X\). Подставляя \(E_\perp\) из пункта 3, получим \(\sigma_s=\dfrac{2\sigma_X\sigma_Y}{\sigma_X+\sigma_Y}\) — среднее гармоническое, лежащее между \(\sigma_Y\) и \(\sigma_X\) ближе к меньшей из них. Это разумно: ток вынужден идти и по «плохому» направлению.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.