Растекание токов и распределение потенциала

Токи растекаются по плоскому листу картона, поэтому потенциал точечного источника логарифмичен, а не \(1/r\); для проверки линеаризуй \(\varphi/x\) как функцию \(x^2\), а напряжённость находи как минус производную потенциала.

1.2) предположение \(\varphi\propto1/r\) не выполняется (\(1/(x\varphi)\) от \(x^2\) не линейна);  1.3) \(\dfrac{\varphi_0(x)}{x}=a+bx^2\), коэффициенты по МНК;  1.4) \(\varphi=\varphi_0\ln\dfrac{r_0}{r}\) (растекание в плоскости);  2.3) \(E_x=-\dfrac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{h}\), \(E_y=-\dfrac{\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j}}{h}\).

Часть 1. Распределение потенциала вдоль оси X

1.1 Измерение потенциала следует проводить с шагом не более 1 см, в противном случае провести тщательный анализ этой зависимости невозможно. График полученной зависимости нелинейный, напоминает кубическую параболу. Функция, описывающая полученную зависимость, нечетная.

1.2 В рамках предположения о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника обратно пропорциональна расстоянию до источника (как потенциал поля точечного заряда), функция описывающая полученную зависимость \(\varphi(x)\) должна иметь вид

\[\varphi = C \left( \frac{1}{l - x} - \frac{1}{l + x} \right) = C \frac{2x}{l^2 - x^2}\tag{1}\]

Эта зависимость допускает линеаризацию

\[\frac{1}{x\varphi} = \frac{l^2 - x^2}{C}\tag{2}\]

Однако, замена переменных \(Y = \frac{1}{x\varphi}\), \(X = x^2\) и построение графика зависимости \(Y(X)\) показывает, что данная зависимость не является линейной. Таким образом, предположение об обратной зависимости потенциала от расстояния не выполняется.

1.3 Для определения параметров зависимости \(\varphi_0(x) = ax + bx^3\) ее необходимо привести к виду

\[\frac{\varphi_0(x)}{x} = a + bx^2.\tag{3}\]

В этом случае для расчета коэффициентов \(a, b\) можно воспользоваться методом наименьших квадратов.

1.4 Так как растекание токов происходит в плоскости, то наиболее разумным является предположение о том, что зависимость потенциала от расстояния до источника является логарифмической:

\[\varphi = \varphi_0 \ln \frac{r_0}{r}.\tag{4}\]

Часть 2. Распределение поля в плоскости.

2.1 Измерение потенциала проводится описанным в условии методом.

2.2 Эквипотенциальная поверхность есть геометрическое место точек, имеющих один и тот же потенциал. На плоскости эквипотенциальная поверхность является линией пересечения трехмерной эквипотенциальной поверхности с плоскостью. Крайняя точка требуемой линии задана в условии, потенциал в этой точке измерен, обозначим его \(\varphi_1\). Для построения всей линии можно воспользоваться двумя методами. Первый, экспериментальный: проводя сканирование потенциала вдоль некоторой прямой параллельной оси \(x\) (с некоторым шагом, например, те же 2 см) найти на этой прямой точку с тем же значением потенциала.

Второй, теоретический: используя данные проведенных измерений провести линейную интерполяцию значений потенциалов между двумя узловыми точками, и по ней рассчитать координаты точек, имеющих потенциал \(\varphi_1\). Заметим, что данная эквипотенциальная линия является замкнутой и охватывает один из подводящих контактов.

2.3 Так как напряженность поля равна производной от потенциала, взятой с противоположным знаком

\[\begin{aligned}E_x &= -\frac{d\varphi}{dx},\\ E_y &= -\frac{d\varphi}{dy}\end{aligned}\tag{5}\]

То для построения направления вектора напряженности, производные можно приближенно заменить отношением конечных разностей,

\[\begin{aligned}E_x &= -\frac{\varphi_{i+1,j} - \varphi_{i,j}}{h},\\ E_y &= -\frac{\varphi_{i,j+1} - \varphi_{i,j}}{h}\end{aligned}\tag{6}\]

Расчеты по этим простым формулам следует провести по всем точкам, значения потенциалов измерены в ходе выполнения пункта 2.1.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.