Протоны с планеты на звезду

Эксперимент короткий по сравнению с годом: положение и скорость планеты за это время почти не меняются. Новая сила притяжения тоже обратна квадрату расстояния, так что орбита остаётся кеплеровским эллипсом, а его параметры находятся из законов сохранения энергии и момента импульса.

Год стал короче в \(\dfrac{4\sqrt2}{3}\approx1{,}9\) раза: \(T/T_0=\dfrac{3}{4\sqrt2}\approx0{,}53\).

Что происходит. Протоны улетели с планеты, и часть их села на звезду: планета оказалась заряжена отрицательно, звезда — положительно. К силе тяготения добавилась сила кулоновского притяжения, тоже обратно пропорциональная квадрату расстояния. Скорость планеты в конце эксперимента осталась прежней, равной скорости круговой орбиты, а притяжение стало сильнее, чем нужно для окружности: значит, планета в этот момент находится в самой дальней точке новой орбиты — эллипса. Главная идея — записать для двух крайних точек эллипса законы сохранения момента импульса и энергии, найти полную константу притяжения, а затем сравнить периоды по третьему закону Кеплера.

Обозначения. \(M\) — масса звезды, \(m\) — масса планеты (\(m\ll M\), звезду считаем неподвижной), \(R\) — радиус прежней орбиты, \(v_0=\sqrt{GM/R}\) — скорость на ней. Сила притяжения планеты после эксперимента равна \(F=\alpha m/r^2\), где \(\alpha=GM+kqQ/m\) (\(q\), \(Q\) — модули зарядов планеты и звезды, \(k=1/4\pi\varepsilon_0\)). Индексом \(A\) отмечаем самую дальнюю точку новой орбиты, индексом \(P\) — самую близкую.

1. Состояние в момент окончания эксперимента. За несколько часов планета проходит порядка \(3\cdot10^{8}\) м, около \(0{,}2\,\%\) радиуса орбиты, а добавочная сила за это время изменяет скорость на доли процента. Поэтому считаем: положение и скорость планеты остались прежними — расстояние \(R\) от звезды, скорость \(v_0\), направленная перпендикулярно радиусу. Обратите внимание: заряды должны быть противоположных знаков. Если бы планета отталкивалась от звезды, расстояние \(R\) осталось бы наименьшим и только выросло бы наибольшее, а по условию наименьшее уменьшилось.

2. Две крайние точки эллипса. В точке \(A\) скорость перпендикулярна радиусу, значит, это крайняя точка орбиты: \(r_A=R\), \(v_A=v_0\). Другая крайняя точка \(P\) по условию лежит на расстоянии \(r_P=R/2\); скорость в ней \(v_P\) тоже перпендикулярна радиусу. Сила притяжения центральная, поэтому момент импульса планеты относительно звезды сохраняется: \[m v_0 R=m v_P\,\frac R2\quad\Rightarrow\quad v_P=2v_0 .\] Закон сохранения механической энергии планеты в поле притяжения \(\alpha m/r^2\) (потенциальная энергия \(-\alpha m/r\)) между точками \(A\) и \(P\): \[\frac{v_0^2}{2}-\frac{\alpha}{R}=\frac{(2v_0)^2}{2}-\frac{\alpha}{R/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\alpha}{R}=\frac32\,v_0^2 .\] Так как \(v_0^2R=GM\), получаем \(\alpha=\tfrac32\,GM\). Кулоновская добавка равна половине тяготения: \(kqQ/m=\tfrac12\,GM\).

3. Период. Большая ось эллипса равна \(r_A+r_P=\tfrac32R\), значит, большая полуось \(a=\tfrac34R\). Третий закон Кеплера для поля \(\alpha/r^2\) (он выводится так же, как для тяготения, с заменой \(GM\) на \(\alpha\)): \(T^2=4\pi^2a^3/\alpha\). Для круговой орбиты до эксперимента \(T_0^2=4\pi^2R^3/(GM)\). Делим: \[\frac{T}{T_0}=\sqrt{\frac{a^3}{R^3}\cdot\frac{GM}{\alpha}}=\sqrt{\frac{27}{64}\cdot\frac23}=\sqrt{\frac{9}{32}}=\frac{3}{4\sqrt2}\approx0{,}53 .\] Обратите внимание: период эллипса зависит только от его большой полуоси, а не от формы, поэтому вся задача сводится к тому, чтобы найти \(a\) и \(\alpha\).

Ответ: год стал короче в \(\dfrac{4\sqrt2}{3}\approx1{,}9\) раза.

Проверка. Второй способ, через полную энергию: для эллипса в поле \(\alpha/r^2\) она равна \(-\alpha m/(2a)=-\tfrac32GMm/\bigl(\tfrac32R\bigr)=-GMm/R=-mv_0^2\); прямо из условия в точке \(A\): \(\tfrac12mv_0^2-\tfrac32 GMm/R=-mv_0^2\) — то же самое. Предел: при \(\alpha=GM\) (заряды нулевые) формулы дают \(r_P=R\) и \(T=T_0\), то есть прежнюю окружность. Смысл: кулоновское притяжение в полтора раза увеличило эффективную константу тяготения, планета «провалилась» к звезде и стала быстрее обходить её.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.