Две линии цезия в интерферометре Майкельсона

Каждая линия даёт на фотоэлементе свои колебания тока с частотой, пропорциональной \(1/\lambda\). Две близкие частоты дают биения: быстрые колебания со средней частотой и медленно меняющуюся амплитуду. Из периодов читаются \(\lambda\) и \(\Delta\lambda\), а из размаха — отношение мощностей.

\(\lambda=2vT\approx1{,}4\cdot10^{-6}\) м; \(\Delta\lambda=\lambda^2/(2vT_{\text{б}})\approx4\cdot10^{-8}\) м; отношение мощностей линий \(\approx1{,}6\).

Что происходит. Два пучка, пришедшие от зеркал, интерферируют на фотоэлементе. Зеркало П уходит от делителя, и путь его пучка растёт: свет идёт до зеркала и обратно, так что разность хода увеличивается на \(2vt\). Для линии с длиной волны \(\lambda_i\) разность фаз растёт как \(\varphi_i=2\pi\cdot 2vt/\lambda_i\), ток этой линии колеблется с частотой \(f_i=2v/\lambda_i\). Линий две, и частоты у них близкие: ток есть сумма двух колебаний, то есть быстрые колебания со средней частотой и медленные биения амплитуды. Главная идея — прочесть по графику период быстрых колебаний, период биений и размах колебаний в максимуме и минимуме биений.

Обозначения. \(I_1\), \(I_2\) — токи фотоэлемента, пропорциональные мощностям линий (коэффициенты деления одинаковы для обеих линий), \(\varphi_i=4\pi vt/\lambda_i\), \(f_i=2v/\lambda_i\), \(T\) — период быстрых колебаний, \(T_{\text{б}}\) — период биений, \(I_{\text{ст}}\) и \(I_{\text{сл}}\) — большее и меньшее из токов \(I_1\), \(I_2\). Ток \[I(t)=I_1\,(1+\cos\varphi_1)+I_2\,(1+\cos\varphi_2).\] Колебания с разными частотами \(f_1\) и \(f_2\) то усиливают друг друга (в фазе), то ослабляют (в противофазе); частота быстрых колебаний — среднее \(\bar f=(f_1+f_2)/2\), частота биений \(f_1-f_2\).

1. Средняя длина волны. Из графика: за промежуток между двумя соседними максимумами огибающей, \(T_{\text{б}}\approx13\) с (от \(t=0\) до \(t\approx13\) с), укладывается около \(36\) быстрых колебаний, отсюда период быстрых колебаний \(T\approx13/36\approx0{,}36\) с (его же дают расстояния между соседними пиками на рисунке ниже). Он равен \(1/\bar f\) и \(\bar f=2v/\lambda\): \[\lambda=2vT=2\cdot2\cdot10^{-6}\text{ м/с}\cdot0{,}36\text{ с}\approx1{,}4\cdot10^{-6}\text{ м}.\] Обратите внимание: множитель \(2\) — свет проходит путь до зеркала и обратно. Если взять \(\lambda=vT\), получится вдвое меньшее и неверное число.

2. Разность длин волн. Биения повторяются, когда разность фаз \(\varphi_1-\varphi_2\) меняется на \(2\pi\), то есть за время \(T_{\text{б}}=1/(f_1-f_2)\). При \(\Delta\lambda\ll\lambda\): \[f_1-f_2=2v\Bigl(\frac1{\lambda_1}-\frac1{\lambda_2}\Bigr)\approx\frac{2v\,\Delta\lambda}{\lambda^2}=\frac1{T_{\text{б}}} \quad\Rightarrow\quad \Delta\lambda=\frac{\lambda^2}{2vT_{\text{б}}}=\frac{(1{,}4\cdot10^{-6})^2}{2\cdot2\cdot10^{-6}\cdot13}\text{ м}\approx4\cdot10^{-8}\text{ м}.\] Это же получается проще: \(\Delta\lambda/\lambda=(f_1-f_2)/\bar f=T/T_{\text{б}}\approx1/36\).

3. Отношение мощностей. Среднее значение тока — слагаемое \(I_1+I_2\), вокруг которого идут колебания; по графику оно равно \(5\) (колебания идут около середины между \(0\) и \(10\)). В максимуме огибающей колебания обеих линий в фазе, амплитуда равна \(I_1+I_2=5\), и ток доходит до нуля и до \(10\). В минимуме огибающей они в противофазе, амплитуда равна \(|I_1-I_2|\). На рисунке ниже виден этот минимум (\(t\approx6{,}5\) с): ток колеблется между \(\approx3{,}8\) и \(\approx6{,}2\), амплитуда \(\approx1{,}2\). Значит, \[I_1+I_2=5,\quad |I_1-I_2|=1{,}2\quad\Rightarrow\quad I_{\text{ст}}=3{,}1,\ \ I_{\text{сл}}=1{,}9,\qquad \frac{I_{\text{ст}}}{I_{\text{сл}}}=\frac{5+1{,}2}{5-1{,}2}\approx1{,}6 .\] Ток пропорционален мощности линии, поэтому и мощности линий относятся как \(1{,}6\) (какая из двух длин волн мощнее, по графику не определить). Обратите внимание: в минимуме биений ток не доходит до постоянного значения, колебания остаются, потому что мощности линий разные; при равных мощностях амплитуда обратилась бы в ноль.

Ответ: \(\lambda\approx1{,}4\cdot10^{-6}\) м, \(\Delta\lambda\approx4\cdot10^{-8}\) м, отношение мощностей линий \(\approx1{,}6\).

Проверка. Размерность: \(2vT\) — метр. Второй способ: за время \(T_{\text{б}}\) первая линия даёт на одно колебание больше второй: \(2vT_{\text{б}}/\lambda_2-2vT_{\text{б}}/\lambda_1=1\), и \(2vT_{\text{б}}/\lambda=2\cdot2\cdot10^{-6}\cdot13/(1{,}4\cdot10^{-6})\approx37\) — согласуется с \(36\) колебаниями, которые мы насчитали на графике. Кривая, рассчитанная при токах \(3{,}1\) и \(1{,}9\) с частотами \(2{,}81\) и \(2{,}73\) Гц (рисунок в начале решения) по форме совпадает с рисунком 9. Смысл: период быстрых колебаний даёт «среднюю частоту», период биений — расстояние между частотами, глубина биений — неравенство интенсивностей линий.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.