Задачи › Вольт-амперная характеристика, нелинейные элементы

Нелинейный элемент и конденсатор

  1. Нелинейный элемент и конденсатор

    ВсОШ 2021/22, 11 кл.
    6/10

    Рассмотрим нелинейный элемент (рис. 5) такой, что при протекании через него тока в направлении от \(A\) к \(B\) зависимость напряжения \(U_{AB}\) от силы тока \(I\) описывается формулой \[U_{AB} = U_1 + \frac{A}{I},\] где \(U_1 > 0\) и \(A > 0\).

    Рисунок

    Если сила тока, текущего через элемент, равна нулю, то напряжение на нём может принимать любые значения. В противоположном направлении электрический ток протекать не может. На рисунке 6 качественно представлена ВАХ нелинейного элемента. В данной задаче рассматриваются две электрические цепи, содержащие данный нелинейный элемент.

    Рисунок

    Часть 1. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 7, состоит из источника постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением \(R\) и нелинейного элемента с известными параметрами \(U_1\) и \(A\).

    Рисунок

    1. При каких значениях напряжения источника \(U_0\) в цепи может протекать постоянный электрический ток?

    Часть 2. Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке 8, состоит из источника постоянного напряжения \(U_0\) с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора с сопротивлением \(R\), конденсатора ёмкостью \(C = 10\) мФ и нелинейного элемента, для которого \(U_1 = 2\) В. Изначально конденсатор не заряжен. Затем в результате кратковременного внешнего воздействия в цепи начинает протекать электрический ток. На рисунке 9 (и на отдельном листе в увеличенном масштабе) представлен график зависимости напряжения на конденсаторе \(U_C\) от силы тока в цепи \(I\). Точка 1 соответствует моменту времени начала протекания тока, точка 2 — достижению максимального напряжения на конденсаторе, а пунктирная линия 23 — прекращению протекания в цепи электрического тока.

    Рисунок

    1. Найдите \(U_0\), \(R\) и \(A\).

    2. Найдите количество теплоты \(Q_R\), выделившееся на резисторе за все время протекания тока в цепи.

    3. Определите время \(\tau\), в течение которого в цепи протекал ток.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите второй закон Кирхгофа для цепи с нелинейным элементом и условие существования корня квадратного уравнения относительно \(I\). Для пунктов 2–3 используйте график и закон сохранения энергии.

    Ответ

    1) \(U_0 \ge U_1 + 2\sqrt{AR}\); 2) \(U_0 \approx 12\) В, \(R \approx 1\) кОм, \(A \approx 4\) мВт; 3) \(Q_R \approx 377\) мДж; 4) \(\tau \approx 10{,}9\) с (погрешность около \(1{,}6\) с).

    Решение

    Часть 1. Из второго закона Кирхгофа \(U_0 = IR + U_1 + \dfrac{A}{I}\), откуда \(I^2R - (U_0 - U_1)I + A = 0\). Корни существуют, если дискриминант неотрицателен: \(U_0 \ge U_1 + 2\sqrt{AR}\).

    Часть 2. Для цепи с конденсатором \(U_C = U_0 - U_1 - IR - \dfrac{A}{I}\). Точка 1: \(I_1 \approx 9{,}6\) мА. Максимум \(U_C\) (точка 2) соответствует минимуму \(IR + A/I\), т.е. \(I_2 = \sqrt{A/R} \approx 2\) мА, и \(U_{max} \approx 6\) В. Из условий точек 1 и 2 получаем \(R = \dfrac{I_1 U_{max}}{(I_1 - I_2)^2} \approx 997\) Ом, \(A = \dfrac{I_1 I_2^2 U_{max}}{(I_1 - I_2)^2} \approx 3{,}99\) мВт, \(U_0 = U_1 + U_{max} + \dfrac{2I_1I_2U_{max}}{(I_1-I_2)^2} \approx 11{,}99\) В.

    Количество теплоты. \(Q_R = RC\int I\,dU_C = RCS\), где \(S\) — площадь под графиком \(I(U_C)\) при зарядке. Графически \(S \approx 37{,}1\)–\(38{,}3\) мВт, т.е. \(Q_R \approx 370\)–\(383\) мДж. Аналитически интегрирование дает \(Q_R \approx 376\)–\(377\) мДж.

    Время. Закон сохранения энергии \(A_{ист} = Q_R + Q_{н.э.} + W_C\), где \(A_{ист} = CU_0U_{max}\), \(W_C = \dfrac{CU_{max}^2}{2}\), \(Q_{н.э.} = CU_1U_{max} + A\tau\). Отсюда \(\tau = \dfrac{C}{A}\left[(U_0-U_1)U_{max} - RS - \dfrac{U_{max}^2}{2}\right] \approx 10{,}9 \pm 1{,}6\) с. Погрешность связана с графическим определением \(S\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх