Брусок на клине у заряженной сферы

Снаружи равномерно заряженная сфера действует как точечный заряд \(Q_1\) в своём центре. Запишите закон сохранения энергии для бруска с учётом трения и потенциала и решите получившееся квадратное уравнение относительно высоты.

\(H=\dfrac{C+\sqrt{C^2-4mg(1-\mu\,\mathrm{ctg}\,\alpha)\,qQ_1\sin\alpha}}{2mg(1-\mu\,\mathrm{ctg}\,\alpha)}-R\sin\alpha\), где \(Q_1=Q\left(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right)\), \(C=mg(h+R\sin\alpha)(1-\mu\,\mathrm{ctg}\,\alpha)+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{h+R\sin\alpha}-\dfrac{mv_0^2}{2}\) (случай остановки перед сферой).

Сферу можно заменить точечным зарядом \(Q_1\) в её центре. Заряд сферы $$Q_1=\dfrac{\frac43\pi(R^3-r^3)Q}{\frac43\pi R^3}=Q\left(1-\dfrac{r^3}{R^3}\right).$$ Так как размеры тела малы по сравнению с размерами сферы, тело — точечный заряд. Расстояние от бруска до центра сферы при высоте \(H\) равно \(\dfrac{H+R\sin\alpha}{\sin\alpha}\), поэтому потенциальная энергия взаимодействия \(q\varphi=\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{H+R\sin\alpha}\). Обозначим \(\mu\,\mathrm{ctg}\,\alpha\) через \(c\) и введём \(H'=H+R\sin\alpha\).

Случай I: брусок останавливается перед сферой. Закон сохранения энергии от начала движения до первой остановки на высоте \(h\): $$\dfrac{mv_0^2}{2}+mgH+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{H+R\sin\alpha}=mgh+\mu mg \mathrm{ctg} \alpha (H-h)+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{h+R\sin\alpha}.$$ Преобразуя, получаем квадратное уравнение относительно \(H'\): $$mg(1-c)H'^2-CH'+qQ_1\sin\alpha=0,$$ $$C=mg(h+R\sin\alpha)(1-c)+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{h+R\sin\alpha}-\dfrac{mv_0^2}{2}.$$ Корень, который дан в официальном решении (со знаком «+»): $$H'=\dfrac{C+\sqrt{C^2-4mg(1-c) qQ_1\sin\alpha}}{2mg(1-c)},  H=H'-R\sin\alpha.$$

Случай II: брусок испытывает упругий удар о сферу и останавливается при движении вверх на высоте \(h\). Закон сохранения энергии: $$\dfrac{mv_0^2}{2}+mgH+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{H+R\sin\alpha}=mgh+\mu mg \mathrm{ctg} \alpha (H+h)+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{h+R\sin\alpha}.$$ Аналогично получаем квадратное уравнение того же вида с $$C=mg(h+R\sin\alpha)+\dfrac{qQ_1\sin\alpha}{h+R\sin\alpha}-\dfrac{mv_0^2}{2}+\mu mg \mathrm{ctg} \alpha (h-R\sin\alpha),$$ и \(H\) находится по той же формуле.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.