Конденсаторы и переключатель

Считайте каждый этап отдельно: в установившемся режиме ток через резистор не течёт. На изолированном узле заряд сохраняется. Тепло на каждом этапе — это работа источников минус изменение энергии конденсаторов.

\(Q=\dfrac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}\,\varepsilon_1^2+\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\,\varepsilon_1\varepsilon_2+\dfrac{C_1}{2}\,\varepsilon_2^2+\dfrac{C_1C_2^2}{2(C_1+C_2)^2}\,\varepsilon_1^2\).

Первый этап (ключ в положении 1). Конденсаторы \(C_1\) и \(C_2\) соединены последовательно с источником \(\varepsilon_1\), ток через резистор в установившемся режиме не течёт, и на них одинаковые заряды $$q_1=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2} \varepsilon_1,  U_1=\dfrac{q_1}{C_1}=\dfrac{C_2}{C_1+C_2} \varepsilon_1.$$ Работа источника \(q_1\varepsilon_1\) идёт на зарядку конденсаторов и на тепло: $$Q_1=q_1\varepsilon_1-\dfrac{C_{посл}\varepsilon_1^2}{2}=\dfrac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)} \varepsilon_1^2,  C_{посл}=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}.$$

Второй этап (ключ в положении 2). Конденсатор \(C_2\) оказывается на изолированном узле, его заряд не меняется, поэтому его энергия и работа источника \(\varepsilon_1\) не дают вклада. Конденсатор \(C_1\) оказывается параллельно источнику \(\varepsilon_2\): в установившемся режиме \(q_2=C_1\varepsilon_2\). Через источник \(\varepsilon_2\) проходит заряд \(q_1+q_2=q_1+C_1\varepsilon_2\), а изменение энергии конденсатора \(C_1\) равно \(\Delta E_c=\dfrac{C_1\varepsilon_2^2}{2}-\dfrac{C_1U_1^2}{2}\). Тогда $$Q_2=(q_1+q_2)\varepsilon_2-\Delta E_c=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2} \varepsilon_1\varepsilon_2+\dfrac{C_1\varepsilon_2^2}{2}+\dfrac{C_1C_2^2}{2(C_1+C_2)^2} \varepsilon_1^2.$$

Суммарная теплота: $$Q=Q_1+Q_2=\dfrac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}\varepsilon_1^2+\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\varepsilon_1\varepsilon_2+\dfrac{C_1}{2}\varepsilon_2^2+\dfrac{C_1C_2^2}{2(C_1+C_2)^2}\varepsilon_1^2.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.