Маятник в вагоне на горке

Перейдите в систему отсчёта вагона: там действует эффективная «тяжесть», перпендикулярная полу. Период колебаний и угол, на который отклонится маятник, найдите в этой системе.

\(\cos\beta=1-2\pi^2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\); при \(\alpha\ll1\) \(\beta\approx\pi\alpha\).

Пусть горка наклонена к горизонту под углом \(\varphi\). Вагон движется с ускорением \(a=g\sin\varphi\) вдоль склона. Тело, отпущенное в вагоне, движется с тем же ускорением вдоль склона и с ускорением \(a_\perp=g\cos\varphi\) перпендикулярно ему. Относительно вагона тело движется перпендикулярно полу с ускорением \(a\), то есть в вагоне действует эффективная сила тяжести, направленная перпендикулярно полу и создающая ускорение \(a_\perp=g\cos\varphi\).

В этих условиях маятник в начальный момент наиболее отклонён от местной вертикали на угол \(\varphi\) и на такой же угол отклоняется от неё, поэтому \(\varphi=\dfrac{\alpha}{2}\). До возвращения в прежнее положение маятник совершает полный период колебаний $$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g\cos(\alpha/2)}}.$$ За это время вагон приобретает скорость $$v=aT=2\pi\sin\dfrac{\alpha}{2}\sqrt{\dfrac{Lg}{\cos(\alpha/2)}}.$$ Такую же скорость в лабораторной системе имеет груз маятника. После остановки вагона груз сохраняет скорость в направлении, перпендикулярном нити: сила натяжения нити в этом направлении не действует. В точке равновесия он движется со скоростью $$u=v\cos\dfrac{\alpha}{2}.$$ По закону сохранения энергии для маятника $$\dfrac{mu^2}{2}=mgL(1-\cos\beta)=2\pi^2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} mgL,$$ где \(\beta\) — угол наибольшего отклонения. Отсюда \(\cos\beta=1-2\pi^2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\), а при малом \(\alpha\) получаем \(\dfrac{\beta^2}{2}\approx\dfrac{\pi^2\alpha^2}{2}\), то есть \(\beta\approx\pi\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.