Токопроводящий шарнир в магнитном поле

Скорость максимальна в положении равновесия шарнира: его найдите из баланса сил и моментов. Работу силы Ампера при перемещении стержней удобно выразить через площадь треугольника \(ABC\).

\(v=\sqrt{\dfrac{gL}{2}}\).

Максимум кинетической энергии системы достигается в положении равновесия. На стержень действуют сила Ампера \(F_a=IBL\), сила реакции опоры шины \(N\) и реакции \(N_1\) в точке контакта; вертикальная составляющая \(N_{1y}=\dfrac{mg}{2}\).

Баланс сил по горизонтали: \(N_{1x}-F_a\sin\alpha=0\). Баланс моментов сил относительно нижней точки: \(N_{1x}L\sin\alpha+N_{1y}L\cos\alpha-\dfrac{F_aL}{2}=0\). Отсюда $$mg=F_a\dfrac{1-2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{F_a}{\sqrt3} (\alpha=30^\circ),  то есть m=\dfrac{IBL}{\sqrt3 g}.$$

Закон сохранения энергии для шарнира: $$\dfrac{mv^2}{2}=A-mgL\sin\alpha.$$ При малом перемещении стержня \(AB\) в положение \(A_1B_1\) работа силы Ампера равна \(\Delta A=I B\,\Delta S\), где \(\Delta S\) — площадь, заметаемая стержнем. Для двух стержней работа равна \(A=IB\,S_{ABC}\), где \(S_{ABC}\) — площадь треугольника \(ABC\): $$A=IBL^2\sin\alpha\cos\alpha=IBL^2\dfrac{\sqrt3}{4}.$$ Подставляя \(m\), получаем \(mgL\sin\alpha=\dfrac{IBL^2}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}IBL^2\), и $$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}IBL^2-\dfrac{\sqrt3}{6}IBL^2=\dfrac{\sqrt3}{12}IBL^2,$$ откуда \(v^2=\dfrac{\sqrt3\,IBL^2}{6m}=\dfrac{gL}{2}\), \(v=\sqrt{\dfrac{gL}{2}}\). Ток и индукция в ответ не входят.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.